Geometria/Operazioni tra Matrici

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Sulle matrici si definiscono in maniera naturale tre operazioni, che andremo adesso ad analizzare in dettaglio.

[modifica] Somma

Definizione

Date $A,B \in M(m,n,\mathbb{R})$ si definisce $A+B \in M(m,n,\mathbb{R})$ nel seguente modo:

$(A+B)_{i,j} := (A)_{i,j} + (B)_{i,j}\ \quad \forall\, i,j$

La definizione è molto naturale e non è nient'altro che la somma fatta componente per componente. Vediamone alcuni esempi.

[modifica] Esempi

$\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a' & b' & c' \\ d' & e' & f' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+a' & b+b' & c+c' \\ d+d' & e+e' & f+f' \end{pmatrix}$

Da questi esempi e dalla definizione si deduce che la somma di matrici è una funzione

$+ :\ M(m,n,\mathbb{R}) \times M(m,n,\mathbb{R}) \to M(m,n,\mathbb{R})$

$(A,B) \mapsto A+B$

Si osservi inoltre che la somma è definita soltanto per matrici con lo stesso numero di righe e di colonne. Non è definita invece per matrici con rige diverse o colonne diverse.

[modifica] Prodotto per uno scalare

Per scalare si intende un numero appartenente allo stesso campo dei coefficienti delle matrici. Ad esempio nel caso di $M(m,n,\mathbb{R})$ , uno scalare sarà un numero reale.

Definizione

Dato $\lambda \in \mathbb{R}$ e $A \in M(,m,n,\mathbb{R})$ definiamo la matrice $\lambda \cdot A \in M(m,n,\mathbb{R})$ nel seguente modo:

$(\lambda \cdot A)_{i,j} = \lambda \cdot (A)_{i,j}\,\forall i,j$

Scriveremo spesso $λ A$ al posto di $\lambda \cdot A$ .

Anche in questo caso la definizione è molto naturale e non è nient'altro che la moltiplicazione di ogni componente per lo scalare. Vediamo ora qualche esempio

[modifica] Esempi

$-4 \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20 & -4 \\ -16 & 0 \end{pmatrix}$

$3 \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a & 3b & 3c \\ 3d & 3e & 3f \end{pmatrix}$

Da questi esempi e dalla definizione si deduce che la moltiplicazione per scalare è una funzione

$\cdot :\ \mathbb{R} \times M(m,n,\mathbb{R}) \to M(m,n,\mathbb{R})$

$(\lambda,A) \mapsto \lambda \cdot A$

[modifica] Prodotto righe per colonne

[modifica] Prodotto di una riga per una colonna

Definizione

Data la matrice riga

$A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{pmatrix} \ \in \ M(1,n,\mathbb{R})$

e la matrice colonna

$B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \ \in \ M(n,1,\mathbb{R})$

definiamo il prodotto $A \cdot B$ nel seguente modo:

$A\cdot B = a_1b_1 + a_2b_2+ \dots + a_nb_n = \sum_{r=1}^n a_rb_r \in \mathbb{R}$

Sebbene questa definizione possa sembrare un po' artificosa non lo è affatto, chi abbia qualche nozione di Analisi o Fisica ha certamente notato come la formula non sia nient'altro che un prodotto scalare tra due vettori. Torneremo più avanti su questo concetto. Per il momento è utile osservare due cose: la prima è che il prodotto appena introdotto è definito solo se la matrice colonna ha tante righe quante sono le colonne della matrice riga, altrimenti "avanzano" alcuni elementi; la seconda cosa da osservare è che il prodotto tra una riga e una colonna dà come risultato un numero reale.

È possibile estendere questa definizione al prodotto di matrici qualsiasi, in cui il numero di colonne della prima sia uguale al numero di righe della seconda. Vale la seguente definizione

[modifica] Prodotto tra due matrici

Definizione

Data la matrice

$A=\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix} \ \in \ M(m,n,\mathbb{R})$

e la matrice

$B=\begin{pmatrix} B^1 & B^2 & \dots & B^p \end{pmatrix} \ \in \ M(n,p,\mathbb{R})$

dopo aver osservato che $A_i \in M(1,n,\mathbb{R})$ e $B^j \in M(n,1,\mathbb{R})$ , e quindi che è possibile fare il prodotto di una riga di $A$ per una colonna di $B$ si pone

$A\cdot B =\begin{pmatrix} A_1\cdot B^1 & A_1 \cdot B^2 & \dots & A_1\cdot B^p \\ A_2\cdot B^1 & A_2 \cdot B^2 & \dots & A_2\cdot B^p \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_m\cdot B^1 & A_m \cdot B^2 & \dots & A_m\cdot B^p \\ \end{pmatrix} \ \in \ M(m,p,\mathbb{R})$

Esplicitamente, se chiamiamo $C = A \cdot B$ , si ha che

$c_{i,j} = A_i \cdot B^j = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \dots + a_{i,n}b_{n,j} = \sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j}$

[modifica] Esempi

$\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \in \mathbb{R} = M(1,\mathbb{R})$

$\begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1a_1 & b_1a_2 & b_1a_3 \\ b_2a_1 & b_2a_2 & b_2a_3 \\ b_3a_1 & b_3a_2 & b_3a_3 \end{pmatrix} \in M(3,\mathbb{R})$

$\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix} \ \qquad$ non è definito

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 7 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

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Indice

[modifica] Somma

[modifica] Esempi

[modifica] Prodotto per uno scalare

[modifica] Esempi

[modifica] Prodotto righe per colonne

[modifica] Prodotto di una riga per una colonna

[modifica] Prodotto tra due matrici

[modifica] Esempi

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