Geometria/Spazi vettoriali/Applicazioni lineari

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Indice

[modifica] Definizione

Siano V e W \mathbb{K}-spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali che prendono il nome di applicazioni lineari.

Definizione: Applicazione lineare

Si dice applicazione lineare da V a W un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:

  • f(v+v^\prime)=f(v)+f(v^\prime),\forall v,v^\prime \in V
  • f(v) = \lambda f(v), \forall v \in V,\forall \lambda \in \mathbb{K}
Definizione: Applicazione lineare

[modifica] Nucleo ed immagine

  • Nucleo: denotato con Ker f = insieme di vettori che l'applicazione lineare riduce al vettore nullo.
  • Immagine: Un vettore k' e' nell'immagine se esiste un k tale che f(k) = k'.

[modifica] Rango

[modifica] Teoremi

  • data f: V -> W, si ha: dim Ker f + dim Im f = dim V
  • rango: rango = dim Im f; etc...
  • se f e' iniettiva allora trasforma basi in basi
  • se il Ker f = {O} allora f e' iniettiva.

[modifica] Esercizi

Ricavato da "http://it.wikibooks.org/wiki/Geometria/Spazi_vettoriali/Applicazioni_lineari"
Strumenti personali