Geometria/Spazi vettoriali/Applicazioni lineari/esercizi

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[modifica] Problema

Determinare se esiste una applicazione lineare f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 tale che

f \left ( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right )
f \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right )
f \left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right )
  • Soluzione:

Si trova che i tre vettori del dominio sono linearmente dipendenti:

\left ( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right )+\left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right )

essendo l'applicazione f lineare si avra' (proprieta' additiva delle applicazioni lineari):

f \left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right ) = f \left ( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ) + f \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right ) + \left ( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right ) \neq \left ( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right )

il che è una contraddizione. Si conclude che non esiste tale applicazione lineare.

[modifica] Problema

Proviamo a cambiare le condizioni iniziali del problema precedente:

f \left ( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right )
f \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right )
f \left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right )
  • Soluzione:

Completiamo ad una base di R3 due qualsiasi dei vettori del dominio di f aggiungendo un vettore linearmente indipendente:

\mathcal{B}=\left \{ \left ( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ), \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ), \left ( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ) \right \}

ponendo:

f \left ( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right )
v= \alpha \left ( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right ) + \beta \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right ) + \gamma \left ( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right )


COMPLETARE

[modifica] Problema

U=\{ \left ( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right ) \in \mathbb{R}^3 | x+y+2z=0 \} \qquad U_1 =\{ \left ( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right ) \in \mathbb{R}^3 | x-y-z=0 \}
W=\{ \left ( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right ) \in \mathbb{R}^3 | x-y-3z=0 \} \qquad W_1 =\{ \left ( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right ) \in \mathbb{R}^3 | 2x-2y-z=0 \}

Costruire f lineare tale che f (U) = U1 e f (W) = W1.

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