Geometria per le medie inferiori/Teorema di Pitagora

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Un triangolo rettangolo, ossia con un angolo di 90°, ha una denominazione dei lati particolare: I due lati che formano l'angolo retto vengono detti cateti; il restante è l'ipotenusa.

Il teorema di pitagora dice che, in un triangolo rettangolo, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti (chiamiamoli a e b) è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (che nomineremo i). In formula:

i^2=a^2+b^2

ovvero

i=\sqrt{a^2+b^2}

Da questo teorema si può anche dire che:

a^2=c^2-b^2
b^2=c^2-a^2

Inoltre, se gli angoli sono noti, il teorema di Pitagora si può scrivere in modi più semplici, perché dagli angoli si calcolano i rapporti tra i cateti.

Angoli di 45°[modifica]

Un triangolo rettangolo isoscele che ha gli angoli di 90, 45 e 45 gradi (la somma degli angoli interni di un triangolo è infatti 180°) è un caso particolare.

La sua area è pari alla metà di un quadrato avente per lato un cateto. Si tratta, quindi, di un triangolo rettangolo con i cateti uguali. Applicando il teorema di Pitagora per calcolare l'ipotenusa, si ottiene:

d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}=\sqrt{2}\times\sqrt{l^2}=\sqrt{2}\times l

Angoli di 30° e 60°[modifica]

30-60-90 triangle.svg

Un triangolo rettangolo che ha gli angoli di 90, 30 e 60 gradi è un altro caso particolare.

Questo triangolo è la metà di un triangolo equilatero avente per lato l'ipotenusa, quindi

  • un cateto è lungo quanto la metà dell'ipotenusa, perché è metà della base del triangolo equilatero;
  • l'altro cateto è l'altezza del triangolo equilatero.

Identificando con l l'ipotenusa e con h il cateto che forma l'angolo di 30°, possiamo dire che:

h=\sqrt{l^2- \left( \frac{l}{2} \right)^2}=\sqrt{l^2- \frac{l^2}{4}}=\sqrt{\frac{4l^2-l^2}{4}}=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{l^2}}{\sqrt{4}}=\frac{l}{2}\times\sqrt{3}

l=\frac{2h}{\sqrt{3}}

Terne pitagoriche[modifica]

Tre numeri che soddisfano la relazione del teorema di Pitagora sono detti terna pitagorica.

Avendo tre numeri si può verificare se abbiamo davanti una terna pitagorica:

  1. Mettere i numeri in ordine crescente
  2. Scrivere sotto al primo e al secondo numero i rispettivi quadrati
  3. Sommare i due numeri ottenuti.

Se il quadrato del terzo numero della potenziale terna è uguale al numero ottenuto dal procedimento qui sopra, abbiamo una terna pitagorica.