Geometria per scuola elementare/Bisezione di un segmento

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Geometria per scuola elementare
Il teorema di congruenza lato-angolo-lato Bisezione di un segmento Alcune costruzioni impossibili


Introduzione[modifica]

In questo capitolo impareremo come dividere un segmento in due (bisezione).

Dato un segmento \overline{AB}, lo divideremo in due segmenti uguali \overline{AC} e \overline{CB}. La costruzione si ispira alla proposizione 10 del Libro I degli Elementi.

Costruzione[modifica]

  1. Costruisci un triangolo equilatero \triangle ABD su \overline{AB}.
  2. Dividi in due l'angolo \angle ADB usando il segmento \overline{DE}.
  3. Chiamiamo C il punto di intersezione tra \overline{DE} e \overline{AB}.

Affermazione[modifica]

  1. I due segmenti \overline{AC} e \overline{CB} sono uguali (e quindi uguali alla metà di \overline{AB}).

Dimostrazione[modifica]

  1. \overline{AD} e \overline{BD} sono lati del triangolo equilatero \triangle ABD .
  2. Quindi, \overline{AD} è uguale a \overline{BD}.
  3. Il segmento \overline{DC} è uguale a se stesso.
  4. A causa della stessa costruzione, gli angoli \angle ADE e \angle EDB sono uguali.
  5. I segmenti \overline{DE} e \overline{DC} si sovrappongono.
  6. Quindi, \angle ADE è uguale a \angle ADC e \angle EDB è uguale a \angle CDB .
  7. Grazie al criterio di congruenza lato-angolo-lato I triangoli \triangle ADC e \triangle CDB sono congruenti.
  8. Quindi, \overline{AC} e \overline{CB} sono uguali.
  9. Siccome \overline{AB} è la somma di \overline{AC} e \overline{CB}, ciascuno dei due è uguale alla sua metà di \overline{AB}.