Geometria per scuola elementare/Costruzione di un triangolo

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Geometria per scuola elementare
Copia di un segmento Costruzione di un triangolo Perché le costruzioni non sono corrette?


Introduzione[modifica]

In questo capitolo, mostreremo come costruire un triangolo partendo da tre segmenti. La costruzione si ispira a Book I, proposition 22


Costruzione[modifica]

Dati tre segmenti \overline{AB}, \overline{CD} e \overline{EF} costruiamo un triangolo con i lati uguali ai tre segmenti.

  1. Copia la linea \overline{CD} sul punto A.

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Se hai dimenticato come si fa, puoi seguire le istruzioni del capitolo precedente. Il risultato dovrebbe assomigliare alle linee grige del disegno qui sotto. La nuova linea la chiameremo \overline{AG}

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Una buona idea è quella di cancellare tutte le linee che ti sono servite per la costruzione, lasciando solo i quattro segmenti mostrati qui.

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  1. Ora copia la linea \overline{EF} sul punto B

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Ancora una volta il risultato assomiglierà alle linee grige del disegno. La nuova linea la chiameremo \overline{BH}
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  1. Disegna il cerchio \circ A,\overline{AG} , con centro in A e raggio \overline{AG}.
  2. Disegna il cerchio \circ B,\overline{BH} , con centro in B e raggio \overline{BH}.
  3. Chiamiamo J uno dei punti di intersezione di \circ A,\overline{AG} e \circ B,\overline{BH} .

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  1. Traccia una linea \overline{AJ}.
  2. Disegna una linea \overline{BJ}.

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Affermazione[modifica]

I lati del triangolo \triangle ABJ sono uguali a \overline{AB}, \overline{CD} e \overline{EF}.

Dimostrazione[modifica]

  1. Il segmento \overline{AB} è uno dei lati del triangolo ed è uguale a se stesso.
  2. Il segmento \overline{AJ} è uguale a \overline{AG} perché entrambi sono raggi del cerchio \circ A,\overline{AG}. E, siccome era stato copiato, \overline{AG}=\overline{CD}. Quindi \overline{AJ} è anche uguale a \overline{CD}
  3. Il segmento \overline{BJ} è uguale a \overline{BH} perché entrambi sono raggi del cerchio \circ B,\overline{BH}. E, siccome era stato copiato,

\overline{BH}=\overline{EF}. Quindi \overline{BJ} è anche uguale a \overline{EF}

  1. Per cui il lati del triangolo \triangle ABJ sono ugualia a \overline{AB}, \overline{CD} e \overline{EF}.

Mettiamo alla prova la procedura[modifica]

  1. Disegna una linea \overline{AB} lunga a piacere.
  2. Copia la linea \overline{AB} su un qualsiasi altro punto C ottenendo \overline{CD}.
  3. Disegna una linea \overline{EF} che sia tre volte la lunghezza di \overline{AB} (non abbiamo spiegato come fare una cosa simile, così lo diamo come esercizio da svolgere: usa il capitolo Copia di un segmento come guida per trovare la soluzione).
  4. Costruisci un triangolo con \overline{AB}, \overline{CD} e \overline{EF}.

Perché in questo caso non riusciamo a costruire il triangolo?[modifica]

Il motivo per cui non riusciamo a costruire il triangolo è dovuto al fatto che i cerchi che abbiamo costruito non si intersecano. Non si possono usare tre segmenti qualsiasi e sperare che ne venga fuori un triangolo. La lunghezza dei tre segmenti deve per forza obbedire a una condizione chiamata "Disuguaglianza triangolare".

Disuguaglianza triangolare[modifica]

La disuguaglianza triangolare stabilisce che uno qualsiasi dei tre segmenti deve essere più corto della somma degli altri due. Se invece uno dei segmenti è più lungo i cerchi non si intersecano. Se uno dei segmenti è uguale alla somma degli altri due, invece di un triangolo, otterremo una linea.

Quindi, la costruzione è corretta ma va applicata a segmenti che rispettano la condizione della disuguaglianza triangolare.

Notare che la costruzione originale di Euclide si applicava a segmenti che rispettavano la condizione, per cui nella sua dimostrazione non vi era alcun errore.