Geometria per scuola elementare/Il teorema di congruenza lato-angolo-lato

Geometria per scuola elementare
Bisettrice di un angolo	Il teorema di congruenza lato-angolo-lato	Bisezione di un segmento

Introduzione

In questo capitolo, discuteremo di un altro teorema (o criterio) di congruenza: questa volta avremo a che fare con il criterio lato-angolo-lato. Il teorema è basata sull'esposizione presente nel Libro I, proposizione 4 degli Elementi.

Il criterio di congruenza lato-angolo-lato

Dati due triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ che abbiano uguali due lati, cioè:

1. Il lato $\overline {AB}$ è uguale a $\overline {DE}$
2. Il lato $\overline {CA}$ è uguale a $\overline {DF}$

e che abbiano uguali anche gli angoli compresi fra questi due lati, vale a dire:

1. L'angolo $\angle CAB$ è uguale all'angolo $\angle FDE$

Allora i triangoli sono congruenti e quindi anche gli altri lati ed angoli sono uguali.

Dimostrazione

Useremo il metodo di sovrapposizione – muovendo un triangolo sull'alto e mostrando che coincidono.

Non useremo la costruzione che già conosciamo per copiare linee e segmenti ma sposteremo il triangolo tutto insieme.

1. Sovrapponi $\triangle ABC$ su $\triangle DEF$ in modo che A vada a finire su D $\overline {AB}$ vada a finire su $\overline {DE}$.
2. Sappiamo che $\overline {AB}$ è uguale a $\overline {DE}$.
3. Per cui, B deve coincidere con E.
4. Sappiamo poi che l'angolo $\angle CAB$ è uguale a $\angle FDE$.
5. Perciò, $\overline {CA}$ va a finire su $\overline {DF}$.
6. Inoltre sappiamo che $\overline {CA}$ è uguale $\overline {DF}$.
7. Quindi, C deve coincidere con F.
8. Perciò, $\overline {CB}$ coincide con $\overline {EF}$.
9. I triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ coincidono.
10. I triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ sono congruenti.