Geometria per scuola elementare/Il teorema di congruenza lato-lato-lato

Geometria per scuola elementare
Perché le costruzioni non sono corrette?	Il teorema di congruenza lato-lato-lato	Copiare un triangolo

Introduzione

In questo capitolo, inizieremo a parare di congruenza e di teoremi di congruenza.

Diciamo che due triangoli sono congruenti se hanno forma uguale. I triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ sono congruenti se e solo se sussistono tutte le seguenti condizioni:

1. Il lato $\overline {AB}$ è uguale a $\overline {DE}$.
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2. Il lato $\overline {BC}$ è uguale a $\overline {EF}$.
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3. il lato $\overline {AC}$ è uguale a $\overline {DF}$.
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4. L'angolo $\angle ABC$ è uguale a $\angle DEF$.
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5. L'angolo $\angle BCA$ è uguale a $\angle EFD$.
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6. L'angolo $\angle CAB$ è uguale a $\angle FDE$.
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Notare che l'ordine dei vertici è importante. Può anche succedere che $\triangle ABC$ e $\triangle ACB$ non siano congruenti anche se si tratta dello stesso triangolo.

I criteri di congruenza servono a fornire un insieme di condizioni più ridotto, ma ugualmente sufficiente a poter dire che due triangoli sono congruenti.

Il primo criterio di congruenza di cui parleremo è il teorema lato-lato-lato.

Il criterio di congruenza lato-lato-lato

Dati due triangoli $\triangle ABC$ e $\triangle DEF$ con i lati uguali, in modo che:

1. Il lato $\overline {AB}$ sia uguale a $\overline {DE}$.
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2. Il lato $\overline {BC}$ sia uguale a $\overline {EF}$.
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3. Il lato $\overline {AC}$ sia uguale a $\overline {DF}$.
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Allora i triangoli sono congruenti e i loro angoli sono anch'essi uguali.
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Metodo dimostrativo

Per provarlo abbiamo bisogno di un nuovo postulato. Questo nuovo postulato ci dice che possiamo spostare, girare o capovolgere una figura geometrica senza cambiarla. In particolare, ci permette di spostare un triangolo senza modificarne i lati e gli angoli.

Bisogna fare attenzione al fatto che questo postulato è vero nella geometria piana ma non lo è in generale. Se si considera la geometria su una superficie curva, il postulato non è più vero.

Una volta che abbiamo a disposizione il postulato, mostreremo come possiamo muovere un triangolo su un altro fino a farli coincidere. Grazie a questo i due triangoli sono uguali.

La costruzione

1. Copia il lato $\overline {AB}$ sul punto D.
2. Disegna il cerchio $\circ D,\overline{AB}$.
3. Il cerchio $\circ D,\overline{AB}$ e il segmento $\overline{DE}$ si intersecano nel punto E: così abbiamo una copia di $\overline {AB}$ che coincide con $\overline{DE}$.
4. Costruisci un triangolo con $\overline{DE}$ come base, $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ come lati e con il vertice dalla stessa parte del vertice F. Chiamiamo questo triangolo $\triangle DEG$

Affermazione

I triangoli $\triangle DEF$ e $\triangle ABC$ sono congruenti.

Dimostrazione

1. I punti A e D coincidono.
2. I punti B e E coincidono.
3. Il vertice F è un punto di intersezione di $\circ D,\overline{DF}$ and $\circ E,\overline{EF}$.
4. Il vertice G è un punto di intersezione di $\circ D,\overline{AC}$ e $\circ E,\overline{BC}$.
5. Sappiamo in partenza che $\overline{DF}$ è uguale a $\overline{AC}$
6. e anche $\overline{EF}$ è uguale a $\overline{BC}$.
7. Quindi, $\circ D,\overline{DF}$ è uguale a $\circ D,\overline{AC}$ e $\circ E,\overline{EF}$ è uguale a $\circ E,\overline{BC}$.
8. Tuttavia, due cerchi con centri diversi hanno al massimo un punto di intersezione da un lato del segmento che unisce i loro centri.
9. Quindi, i punti G e F coincidono.
10. Per due punti passa una sola linea retta, quindi $\overline {EG}$ coincide con $\overline {EF}$ e $\overline {GD}$ coincide con $\overline {DF}$.
11. Perciò, il triangolo $\triangle DEG$ coincide con $\triangle DEF$ e i due sono congruenti.
12. Grazie al postulato $\triangle DEG$ e $\triangle ABC$ sono uguali e quindi congruenti.
13. Quindi, $\triangle DEF$ e $\triangle ABC$ sono congruenti.
14. Da cui, $\angle ABC$ è uguale a $\angle DEF$, $\angle BCA$ è uguale a $\angle EFD$ e $\angle CAB$ è uguale a $\angle FDE$.

Nota

Il teorema di congruenza lato-lato-lato compare negli Elementi come proposizione 8 del I Libro . La dimostrazione che ne abbiamo data è svolta nello stesso spirito di quella originale. Nell'originale Euclide afferma che i vertici F e G devono coincidere senza però spiegarne il perché.

Noi abbiamo usato la proprietà secondo cui:

Cerchi con centri diversi hanno al massimo un punto di intersezione da un lato del segmento che unisce i loro centri.

L'assunzione è valida nella geometria piana ma può essere ricavata dai postulati originali di Euclide. Siccome Euclide stesso ne ha dovuto far uso abbiamo preferito dare una dimostrazione più dettagliata, nonostante l'assunzione di questa proprietà extra.