Implementazioni di algoritmi/Test di Miller-Rabin

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[modifica] Test di primalità di Miller-Rabin

Sia n un numero intero positivo dispari e non primo. I numeri positivi b<n tali che M.C.D.(b,n)=1, e tali che n sia uno pseudoprimo di Eulero forte in base b sono non più di un quarto di tutti i numeri positivi b<n tali che M.C.D.(b,n)=1.

Questo è il test di primalita' che stavamo presentando:

Se fisso un intero dispari n>1, lo posso scrivere come n=2^s*t+1, con t dispari. Il test T₁ si sintetizza nei seguenti:

1. scegliamo a caso un intero b₁, con 1<b₁<n, e calcoliamo M.C.D.(b₁, n);
2. se M.C.D.(b₁, n) > 1, allora n non è primo, ed abbiamo finito;
3. se M.C.D.(b₁, n) = 1, calcoliamo b (mod n). Se b ≡ +1 (mod n) oppure b ≡ -1 (mod n), n è primo oppure è pseudoprimo forte in base b₁;
4. se non vale che b ≡ +1 (mod n) oppure b ≡ -1 (mod n), calcoliamo b (mod n). Se b ≡ -1 (mod n), allora n è pseudoprimo forte in base b₁;
5. se non vale che b ≡ -1 (mod n), passiamo a b, e a tutte le altre potenze di 2, moltiplicate per t. Se tutti i b, per r=1,..., s-1, non sono mai congrui a -1 modulo n, allora n non è un primo. Altrimenti n è uno pseudoprimo forte in base b₁.

Per tutti gli altri test {T_m}_m, m∈, la definizione è analoga:

1. scegliamo a caso un intero b_m, con 1<b_m<n, e calcoliamo M.C.D.(b_m, n);
2. se M.C.D.(b_m, n) > 1, allora n non è primo, ed abbiamo finito;
3. se M.C.D.(b_m, n) = 1, calcoliamo b (mod n), e procediamo come nel primo test. In questo modo troviamo che p non è primo, oppure che n è pseudoprimo forte in base b_m.