Logica/Calcolo delle proposizioni/Esercizi su algebra delle proposizioni
Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.
In questo primo esempio utilizzeremo le regole di manipolazione algebrica per ridurre la regola di contrapposizione a Vero, dimostrando che si tratta di una tautologia manipolando i simboli e non applicando in modo esaustivo tutte le possibili interpretazioni della variabili atomiche come abbiamo fatto finora con il metodo delle tabelle di verità.
| 1 |  |
espressione della regola di contrapposizione |
| 2 |  |
trasformata l' implicazione centrale in disgiunzione |
| 3 |  |
trasformate le due implicazioni in disgiunzioni |
| 4 |  |
applicata deMorgan alla prima subformula |
| 5 |  |
eliminate le doppie negazioni |
| 6 |  |
distribuita la prima disgiunzione |
| 7 |  |
sostituita la disgiunzione di B e -B con T |
| 8 |  |
elimitata la congiunzione con T |
| 9 |  |
riordinata e associata A con -A |
| 10 |  |
semplificata la disgiunzione tra A e -A |
| 11 |  |
È una tautologia! |
Questo modo di operare sta anticipando quello che vedremo nella prossime sezioni: come dimostrare che una proposizione è vera o soddisfacibile per via sintattica e non semantica.
L' euristica che ci ha guidato nella trasformazione è stata quella di trasformare la sentenza in una serie di disgiunzioni tra congiunzioni. Questa configurazione prende il nome di forma normale disgiunta.
Forma normale disgunta:
È molto semplice verificare il valore di verità di una sentenza in forma normale disgiunta: la prima disgiunzione vera rende vera tutta la frase, quindi possiamo terminare l' analisi; le congiunzioni sono ugualmente di facile valutazione, devono avere tutte le loro componenti vere e falliscono se contengono una frase e la sua nagazione.
