Logica/Calcolo delle proposizioni/Esercizi su tavole di verita
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Calcolare con le tavole di verità le seguenti proposizioni:
(A ∨ B) → A
| A | B | A ∨ B | (A ∨ B ) → A |
|---|---|---|---|
| Vero | Vero | T | T |
| Vero | Falso | T | T |
| Falso | Vero | T | F |
| Falso | Falso | F | T |
Come possiamo notare dalla colonna finale l' espressione non è sempre vera, cioè non è una tautologia.
L' espressione viene soddifatta (ha valore Vero) nei primi due e nell' ultimo caso, ma il terzo caso (A Falso e B Vero) porta ad avere come risultato globale il valore di Falso.
In linguaggio naturale: A o B non sempre implicano A, infatti A o B può essere vera con A falsa.(A → A) → (B → C)
| A | B | C | A → A | B → C | (A → A) → (B → C) |
|---|---|---|---|---|---|
| Vero | Vero | Vero | T | T | T |
| Vero | Vero | Falso | T | F | F |
| Vero | Falso | Vero | T | T | T |
| Vero | Falso | Falso | T | T | T |
| Falso | Vero | Vero | T | T | T |
| Falso | Vero | Falso | T | F | F |
| Falso | Falso | Vero | T | T | T |
| Falso | Falso | Falso | T | T | T |
A → (A ∧ B)
| A | B | A ∧ B | A → (A ∧ B) |
|---|---|---|---|
| Vero | Vero | T | T |
| Vero | Falso | F | F |
| Falso | Vero | F | T |
| Falso | Falso | F | T |
(A → B) → (
A → B)
| A | B | A → B | A → B |
(A → B) → (A → B) |
|---|---|---|---|---|
| Vero | Vero | T | T | T |
| Vero | Falso | F | T | T |
| Falso | Vero | T | F | F |
| Falso | Falso | T | T | T |
Questa sentenza è un ragionamento errato che spesso si sente fare nei discorsi di ogni giorno: se A implica B allora non A implica non B. Da questa tabella di verità si vede che non è sempre vero (anche se spesso è vero).
La regola corretta che coinvolge negazione ed implicazione (contrapposizione) dice che se A implica B allora non B implica non A (verrà dimostrata con un esercizio successivo).
Provare con le tavole di verità i seguenti teoremi:
(A → B) → (B → A) regola di contrapposizione.
| A | B | A → B | B → A |
(A → B) → (B → A) |
|---|---|---|---|---|
| Vero | Vero | T | T | T |
| Vero | Falso | F | F | T |
| Falso | Vero | T | T | T |
| Falso | Falso | T | T | T |
(A ∨ B) ↔ (A ∧ B) deMorgan per la disgiunzione.
| A | B | (A ∨ B) |
A ∧ B |
(A ∨ B) ↔ (A ∧ B) |
|---|---|---|---|---|
| Vero | Vero | F | F | T |
| Vero | Falso | F | F | T |
| Falso | Vero | F | F | T |
| Falso | Falso | T | T | T |
(A ∧ B) ↔ (A ∨ B) deMorgan per la congiunzione.
((A → B) ∧ (C → D)) → ((A ∧ C) → (B ∧ D)) preclarum theorema.
A → A
| A | A |
 A |
A → A |
|---|---|---|---|
| Vero | F | T | T |
| Falso | T | F | T |
