Logica/Calcolo delle proposizioni/Tutti i connettivi
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Date due sentenze abbiamo quattro combinazioni. Poiché ad ogni combinazione può corrispondere un valore di Vero o Falso, tutti le possibili combinazioni sono sedici. Quindi esistono 16 possibili connettivi per sentenze composte da due frasi.
Costruiamo la tavola di verità per tutti i connettivi possibili.
| A | B | 00 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vero | Vero | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T |
| Vero | Falso | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T |
| Falso | Vero | F | F | F | F | T | T | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T |
| Falso | Falso | F | F | F | F | F | F | F | F | T | T | T | T | T | T | T | T |
Questo è l' elenco completo. Possiamo notarne alcuni che già conosciamo o comunque interessanti.
- 01: è la congiunzione AND.
- 07: è la disgiunzione OR.
- 13: è l' implicazione.
- 09: è l' equivalenza, cioè (A → B) ∧ (B → A)
- 00: è la costante Falso
- 15: è la costante Vero.
Altri connettivi interessanti:
- 14: NAND, cioè la negazione della congiunzione, chiamato anche connettivo di Sheffer.
- 06: XOR, disgiunzione esclusiva, vera se solo una delle due sentenze è vera.
- 08: NOR, la negazione della disgiunzione.
Il connettivo NAND è funzionalmente completo, cioè da questo solo connettivo è possibile derivare gli altri.
NAND(A,A) = 
A
NAND(NAND(A,B),NAND(A,B)) = A ∧ B
NAND(NAND(A,A),NAND(B,B)) = A ∨ B
NAND(NAND(A,B),A) = A → B
Potete provare con le tavole di verità che questo sia effettivamente vero. Provate anche a cercare altri connettivi che hanno la stessa proprietà.
