Matematica per le superiori/Prodotti notevoli

Quadrato di un binomio

Dato il binomio $(a+b)$ , il suo quadrato $(a+b)^{2}$ è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine moltiplicato per il secondo, più il quadrato del secondo termine.

Regola

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

Esempi

• $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$
• $(2x+y)^{2}=(2x)^{2}+2*2xy+y^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}$
• $(2x+2y)^{2}=(2x)^{2}+2*2x*2y+(2y)^{2}=4x^{2}+8xy+4y^{2}$
• $(2xy+3y)^{2}=(2xy)^{2}+2*2xy*3y+(3y)^{2}=4x^{2}y^{2}+12xy^{2}+9y^{2}$

Quadrato di un polinomio

Dato il polinomio $(a+b+c+\dots )$, il suo quadrato $(a+b+c+\dots )^{2}$ è pari alla somma dei quadrati di ogni termine, e del doppio prodotto di ciascuna coppia di termini misti:

$(a+b+c\dots )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\dots +2ab+2ac+2bc+\dots$

Esempi

• $(2a+b+c)^{2}=(2a)^{2}+b^{2}+c^{2}+2\times 2a\times b+2\times 2a\times c+2\times b\times c=$

  $=4a^{2}+b^{2}+c^{2}+4ab+4ac+2bc$

• $(2a+2b+c)^{2}=(2a)^{2}+(2b)^{2}+c^{2}+2\times 2a\times 2b+2\times 2a\times c+2\times 2b\times c=$

  $=4a^{2}+4b^{2}+c^{2}+8ab+4ac+4bc$

• $(3ab+4bc+5ac)^{2}=(3ab)^{2}+(4bc)^{2}+(5ac)^{2}+2\times 3ab\times 4bc+2\times 3ab\times 5ac+2\times 4bc\times 5ac=$

  $=9a^{2}b^{2}+16b^{2}c^{2}+25a^{2}c^{2}+24ab^{2}c+30a^{2}bc+40abc^{2}$

Cubo di un binomio

Dato un binomio $(a+b)$ il suo cubo $(a+b)^{3}$ è pari al cubo del primo termine, più il triplo del prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo del prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.

Regola

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Prodotto della somma di due termini per la loro differenza

la somma di due termini $(a+b)$ per la loro differenza $(a-b)$ avrà come risultato la differenza dei rispettivi quadrati.

Regola

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Somma di due cubi

La somma dei cubi di due monomi $(a^{3}+b^{3})$ è pari al prodotto della somma dei due monomi, moltiplicato per il polinomio costituito dal quadrato del primo monomio, più il quadrato del secondo monomio, meno il prodotto del primo monomio per il secondo monomio.

Regola

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Falso quadrato

N.B. Il termine $(a^{2}-ab+b^{2})$ è detto il falso quadrato di $(a-b)^{2}$.

Differenza di due cubi

La differenza dei cubi di due monomi $(a^{3}-b^{3})$ è pari al prodotto della differenza dei due monomi, moltiplicato per il polinomio costituito dal quadrato del primo monomio, più il quadrato del secondo monomio, più il prodotto del primo monomio per il secondo monomio.

Regola

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Falso quadrato

N.B. Il termine $(a^{2}+ab+b^{2})$ è detto il falso quadrato di $(a+b)^{2}$. Il falso quadrato non è di per sé scomponibile in fattori di primo grado.

Trinomio Notevole (detto anche Trinomio speciale o trinomio caratteristico)

Regola

$x^{2}+sx+p=(x+a)(x+b)$ se $ab=p$ e $a+b=s$

Esempio

Dato il polinomio $x^{2}+5x+6$, i due numeri $a$ e $b$ tali che $ab=6$ e $a+b=5$ sono $a=3$ e $b=2$... Perciò possiamo scrivere $x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)$.

Somma e differenza di quadrati di basi quasi uguali

Regola

$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})$
$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$

Nella somma di questi quadrati, nelle basi cambia soltanto il segno di un termine (b). Nel caso si sommino basi quasi uguali bisogna raddoppiare la somma dei quadrati; nel caso si sottraggano bisogna raddoppiare il doppio prodotto.

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