Matematica per le superiori/Le equazioni irrazionali

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Per equazioni irrazionali si intendono quelle equazioni in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. La forma più semplice è:

$\sqrt[n]{A(x)} = B(x) \,$

[modifica] Risoluzione

Nel caso n sia un numero dispari è sufficiente elevare entrambi i membri dell'equazione per lo stesso indice:

$A(x) = \left [ B(x) \right ]^ n \,$

ritornando così ad un caso di partenza (un'equazione) senza però il radicale considerato inizialmente.

La faccenda si fa più complicata se si considerano i casi in cui n è un numero pari, ai quali è dedicato questo capitolo. Infatti elevando entrambi i membri di un'equazione per un numero pari non si ottiene necessariamente un'equazione equivalente: se consideriamo ad esempio l'equazione $x = -x \,$ , la cui soluzione è 0, elevando entrambi i membri alla seconda otteniamo $x^2 = x^2 \,$ , che ha invece infinite soluzioni.

Consideriamo ad esempio questa equazione:

$\sqrt{x + 1} = x - 5 \,$

Elevando entrambi i membri alla seconda per eliminare il radicale otteniamo:

$x + 1 = x^2 - 10x + 25 \,$

$x^2-11x + 24 = 0 \,$

$\Delta = 11^2-24 \cdot 4 = 25 \,$

$x = \frac{11 \pm 5}{2} \,$

$x_1 = 8; x_2 = 3 \,$

Per verificare i risultati ottenuti utilizziamo la sostituzione:

$x = 8 \,$

$\sqrt{8+1} = 8-5 \,$

$3 = 3 \,$

$x = 3 \,$

$\sqrt{3+1} = 3-5 \,$

$2 = -2 \,$

L'unica soluzione accettabile è quindi $x = 8$

[modifica] Condizioni di concordanza

Abbiamo visto che con la verifica delle soluzioni possiamo escludere le soluzioni non accettabili semplicemente utilizzando la sostituzione. Per ottenere lo stesso risultato è però possibile porre delle condizioni. Ad esempio nel nostro semplice caso:

$\sqrt[n]{A(x)} = B(x) \,$ con n pari

dovremo porre delle condizioni di esistenza affinché sotto radice ci sia una quantità positiva o nulla (quindi $A(x) \geq 0 \,$ ). Se il risultato di $\sqrt[n]{A(x)}$ è un numero positivo o nullo, in quanto è il risultato di un'estrazione di una radice con indice pari, significa che anche $B(x) \geq 0 \,$ .

Tornando al nostro esempio

$\sqrt{x + 1} = x - 5 \,$

Le condizioni da porre saranno le seguenti:

$x + 1 \geq 0 \rarr x \geq -1 \,$

$x - 5 \geq 0 \rarr x \geq 5 \,$

Dovendo considerare entrambe le condizioni contemporaneamente la nostra condizione sarà: $x \geq 5 \,$ .

Svolgiamo ora l'equazione e otteniamo i due risultati:

$x_1 = 8; x_2 = 3 \,$

Possiamo ora dire in base alle nostre condizioni, senza effettuare le sostituzioni, che l'unica soluzione accettabile è $x = 8$ in quanto 3 è minore di 5.

[modifica] Altri casi

Il metodo delle condizioni è più veloce è più pulito, ma, con gli strumenti a nostra disposizione, non può essere sempre applicabile in modo corretto. Esamineremo pertanto di seguito i casi risolvibili tramite le condizioni che siamo in grado di risolvere.

Quando in una equazione compaiono più di una radice, la cosa più conveniente è riuscire ad ottenere solo somme e non differenze in modo che, una volta poste le condizioni di esistenza, si possa essere sicuri anche della concordanza del segno:

$\sqrt{x+1} - \sqrt{x+6} = -1 \,$

In questo caso potrei dopo aver posto delle condizioni di esistenza non potrei più ragionare sulla concordanza del segno, in quanto la differenza di quantità positive o nulle (cioè $\sqrt{x+1} - \sqrt{x+6}$ ) non si può sapere se sia positiva o nulla.

Portiamo quindi i membri dalle parti opportune in modo da ottenere solo delle somme:

$\sqrt{x+1} + 1 = \sqrt{x+6} \,$

Ora poniamo le condizioni di esistenza delle radici:

$x + 1 \geq 0 \rarr x \geq -1 \,$

$x+6 \geq 0 \rarr x \geq -6 \,$

quindi $x \geq -1$

Ora passiamo ai segni: sappiamo che $\sqrt{x + 6}$ è sempre positivo o nullo così come lo è $\sqrt{x+1}$ e a sua volta dunque $\sqrt{x+1} + 1$ sarà positivo.