Matematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche
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Un insieme è una raccolta di elementi anche non uniformi.
Un insieme è indicato con una lettera, i suoi elementi (o icriteri per stabilirli) si trovano invece espressi in parentesi graffe separati da virgole; se invece è definito un criterio con cui selezionare i membri, la virgola significa "tale che":
A = {1,2,3}
L'insieme A è formato dai numeri 1, 2 e 3
L'insieme B è formato dai numeri naturali inferiori di 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
Gli insiemi numerici hanno diverse proprietà:
- La numerabilità di un insieme è data dalla possibilità di assegnare un posto ad ogni elemento dell'insieme.
- Quando è formato da punti isolati, l'insieme si dice discreto, viceversa, quando è impossibile stabilire l'elemento successivo l'insieme si dice denso.
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[modifica] Sottoinsiemi
Un sottoinsieme è un insieme formato da elementi tutti appartenenti ad un altro insieme più vasto.
L'esistenza di un sottoinsieme S in un insieme A implica l'eseisteza di:
- Il 'sottoinsieme complementare' di S, formato dagli elementi di A non appartenenti a S.
- L'insieme delle parti P(A), formato da tutti i sottoinsiemi di A.
- L'insieme unione (U) (Se più di un sottoinsieme), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad almeno uno degli altri sottoinsiemi.
- L'insieme intersezione (Se più di un'intersezione), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad entrambe i sottoinsiemi.
- Il prodotto cartesiano (a·b), insieme delle coppie ordinate di A e S.
[modifica] Insiemi numerici fondamentali
Gli insiemi numerici fondamentali sono insiemi aventi le seguenti caratteristiche:
- Sono infiniti
- Sono rappresentabili su una retta
- È possibile definirvi addizione e moltiplicazione e stabilire delle proprietà
Essi sono
- L'insieme N dei numeri naturali, 'discreto'.
- L'insieme Z, 'discreto' ma senza un primo elemento.
- L'insieme Q dei numeri irrazionali, 'denso'.
- L'insieme R dei numeri reali, 'denso'.
[modifica] Strutture algebriche
Le strutture algebriche sono particolari strutture che si ottengono associando almeno un'operazione ad un insieme.
[modifica] Gruppi
Un'operazione 
applicata ad un insieme A può costituire un gruppo. Ciò avviene se:
- · è chiuso in A
- Vale la proprietà associativa
- Esiste un elemento neutro
- Esiste un inverso di un elemento rispetto a ·.
Nel caso valga anche la proprietà commutativa il gruppo si dice commutativo, o abeliano
[modifica] Campi
Per definire un campo sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un campo se:
- (A,·) è un gruppo
- (A,×) è un gruppo
- Vale la proprietà distributiva
[modifica] Anelli
Per definire un anello sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un anello se:
- (A,·) è un gruppo commutativo
- (A,×) è un gruppo commutativo
- Vale la proprietà distributiva
[modifica] Principio di induzione
Il principio di induzione è il quinto dei cinque assiomi di Peano, relativi all'insieme N dei numeri naturali:
- 0 è un numero naturale
- Ogni numero naturale ha un successivo
- Due numeri naturali diversi hanno successivi diversi
- 0 non è il successivo di nessun numero naturale
- Data una proprietà P, se essa si verifica per n=0 (o n=1) e, supposta vera per n, si dimostra vera per n+1 allora la proprietà è vera.
