Matematica per le superiori/Trigonometria

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[modifica] Misura degli Angoli

[modifica] Misura in gradi sessagesimali

Il grado è la 360ª parte dell'angolo giro e a sua volta viene diviso in 60 parti, formando un primo che a sua volta può ulteriormente venire diviso in altre 60 parti, formando il secondo. Ad esempio, con 43°15'22" indichiamo un angolo di 43 gradi, 15 primi e 22 secondi.

[modifica] Misura in radianti

Consideriamo un angolo α l'arco sotteso corrispondente sulla circonferenza. L'angolo misura un radiante se la lunghezza di quest'arco è uguale al raggio. Se ad esempio consideriamo un angolo arbitrario β e r il raggio, abbiamo la proporzione

$x:2\pi r = \beta^{\circ}:360^{\circ}$

ne deriva che

$x= \frac{2\pi r \beta^{\circ}}{360^{\circ}}$

semplificando il tutto considerando la circonferenza goniometrica con r=1

$x=\frac{\pi \beta^{\circ}}{180^{\circ}}$

Si riportano qui alcuni valori in radianti dei corrispondenti gradi sessagesimali.

Gradi	0	18	30	45	60	90	135	150	180	270	360
Radianti	0	$\frac{\pi}{10}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{3}{4}\pi$	$\frac{5}{6}\pi$	$π$	$\frac{3}{2}\pi$	$2π$

[modifica] Funzioni Goniometriche

Per definire le funzioni goniometriche, consideriamo il seguente grafico, rappresentate una circonferenza goniometrica, cioè una circonferenza di equazione x²+y²=1, vale a dire una circonferenza avente raggio pari a 1.

anche se ovviamente valgono anche per qualsiasi valore del raggio.

[modifica] Coseno di un angolo $α$

Osservando il triangolo rettangolo POP', il coseno di un generico angolo $α$ è dato dal rapporto tra il lato OP' e il raggio (nel nostro esempio 1).

$\cos \alpha = \frac{OP'}{OP} = \frac{OP'}{r}$

nel caso della circonferenza goniometrica, $cosα = O P'$ .

La funzione coseno è di tipo sinusoidale, cioè che si ripete ciclicamente. Il coseno inizia con valore 1 per l'angolo giro (o nullo), diminuendo progressivamente fino ad essere 0 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto diventa negativo assumento -1, il suo massimo valore negativo a 180º. Superati i tali risale e diventa 0 a 270º per poi ritornare 1 raggiunti i 360º.

[modifica] Seno di un angolo $α$

Considerando lo stesso triangolo, il seno dell'angolo $α$ è dato dal rapporto fra il segmento PP' e il raggio;

$\sin \alpha = \frac{P'P}{OP}$

nel caso della circonferenza goniometrica di raggio=1,

$sinα = P' P$

La funzione seno è di tipo sinusoidale. Il seno inizia con valore 0 per l'angolo giro (o nullo), aumentando progressivamente fino ad essere 1 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto si avvia a ritornare nullo, assumento nuovamente il valore 0 a 180º. Superati i tali diventa negativo e raggiunge -1 a 270º, tornando poi 0 a 360º.

[modifica] Tangente e cotangente di un angolo $α$

La tangente di un angolo è definita come il rapporto tra il seno ed il coseno del medesimo angolo, quindi

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Possiamo dare anche un'intepretazione geometrica alla funzione tangente. Consideriamo infatti il grafico di una retta

L'equazione di questa retta è, come ben noto, $y = m x$ , dove m è il coefficiente angolare. In realtà la tangente è uguale al coefficiente angolare.

Infatti, se $y = m x + q$ , allora abbiamo che $m=\frac{y}{x}$ e quindi, per la definizione data all'inizio di tangente, $m = tanα$ .

Osservando la circonferenza goniometrica, la tangente è il segmento AT. La tangente non può esistere quando $\alpha = \frac{\pi}{2}+k{\pi}$ dal momento che la retta tangente e il raggio vettore sono paralleli e non hanno quindi punti in comune.

La cotangente, come dice la seconda relazione fondamentale, è invece il reciproco della tangente:

$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$

Da ciò deriva che la cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo e nel grafico della circonferenza goniometrica è rappresentato dal segmento BC

$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Il campo di esistenza della cotangente invece è $\alpha \ne k\pi \forall k \in \mathbb{Z}$

A differenza del seno e del coseno, il grafico delle funzioni tangente e cotangente non formano una sinusoide, ma una tangentoide, pur essendo anch'esse cicliche. Il motivo di questa differenza risiede nel fatto che in alcuni punti la tangente non è definita, e più precisamente nei punti 90º e 270º, dove la funzione assume valori infinitamente grandi.

Il medesimo discorso vale anche per la cotangente, dove assume valore infinito nei punti 0 e 180º.

[modifica] Valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli notevoli

Per comodità, si riportano i valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli notevoli.

Gradi	Radianti	seno	coseno	tangente	cotangente
0	0	0	1	0	$\varnothing$
15º	$\frac{1}{12}\pi$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$
18º	$\frac{\pi}{10}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{5}}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$
30º	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
45º	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1	1
60º	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
75º	$\frac{5}{12}\pi$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$
90º	$\frac{\pi}{2}$	1	0	$\varnothing$	0

Con l'uso di questi valori e con le formule che vedremo in seguito, è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

[modifica] Archi Associati

Abbiamo già visto che il seno ed il coseno assumono valori da -1 a 1 ciclicamente (ovviamente sempre nel caso della circonferenza goniometrica di raggio 1). In questa sezione vediamo come il seno ed il coseno si ripetono e si scambiano al variare dell'angolo e dei quadranti, rendendo quindi così possibile ridurre tutti i valori delle due funzioni al primo quadrante.

[modifica] Angoli Complementari

Consideriamo l'angolo $α$ e l'angolo $\frac{\pi}{2}-\alpha$ ;

I due triangoli OHP e OH'P' sono uguali (essendo gli angoli uguali) e uguali sono i loro lati, ovvero seno e coseno. Allora: $OH'=OH \Rightarrow \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos \alpha$

$HP' = HP \Rightarrow \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin \alpha$

$\tan \left(\frac\pi2-\alpha\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$

[modifica] Angoli Supplementari

Consideriamo ora l'angolo $α$ e l'angolo $π - α$ ;

Anche in questo caso i triangoli sono uguali (OHP e OH'P' hanno il medesimo angolo $α$ ), e osservando la figura si deduce che

$\sin\left(\pi-\alpha\right) = \sin \alpha$

$\cos\left(\pi-\alpha\right) = -\cos \alpha$

$\tan\left(\pi-\alpha\right) = \frac{-\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\tan \alpha$

Se invece consideriamo l'angolo $\frac{\pi}{2} +\alpha$ , otteniamo un angolo che differisce di un angolo retto da $α$ e la relazione tra seno e coseno è identica a quella di $π - α$ e $α$ .

Sono due modi di vedere lo stesso angolo, come ad esempio, possiamo vedere un angolo di 110º sia come 180º-70º sia come 90º+20º.

[modifica] Angoli che hanno per somma tre angoli retti

Consideriamo l'angolo $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ e $α$ ;

Anche in questo caso i triangoli sono uguali e osservando la figura si deduce che

$H'P'= -HP \Rightarrow \cos \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha$

$OH'=-OH \Rightarrow \sin \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = - \cos \alpha$

$\tan \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \tan \alpha$

$\cot \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \cot \alpha$

Possiamo anche vedere la situazione come angoli che differiscono di un angolo piatto, ed in tal caso considerare $π + α$ e $α$ e arrivare ai precedenti risultati nel medesimo modo, ossia osservando il grafico.

[modifica] Angoli esplementari

Consideriamo la differenza tra l'angolo giro e un angolo $α$ , ossia $2π - α$ ;

Al solito, anche questi triangoli sono uguali e possiamo notare che

$H'P'=-HP \Rightarrow \sin\left(2\pi-\alpha\right) = -\sin \alpha$

$OH'=OH \Rightarrow \cos\left(2\pi-\alpha\right) = \cos \alpha$

$\tan\left(2\pi-\alpha\right) = -\tan \alpha$

$\cot\left(2\pi-\alpha\right) = -\cot \alpha$

Anche qui possiamo vedere le cose in modo diverso, ossia sommando un angolo $α$ a 270°, facendo però attenzione perché il risultato è diverso.

Infatti, osservando il grafico

abbiamo che

$H'P'=HP \Rightarrow \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = \sin \alpha$

$OH' = -OH \Rightarrow \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = -\cos \alpha$

$\tan\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\tan \alpha$

$\cot\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot \alpha$

[modifica] Angoli opposti

Infine consideriamo due angoli opposti $α$ e $- α$ , ovvero l'angolo $360^{\circ}-\alpha$ ;

Ovviamente i trinagoli sono uguali e abbiamo che:

$H'P'=-HP \Rightarrow \sin\left(2\pi-\alpha\right) = -\sin \alpha$

$OH'=OH \Rightarrow \cos\left(2\pi-\alpha\right) = \cos \alpha$

$\tan\left(2\pi-\alpha\right)=-\tan \alpha$

$\cot\left(2\pi-\alpha\right) = -\cot\alpha$

[modifica] Operazioni algebriche con le funzioni goniometriche

Osserviamo la figura, dove vengono rappresentati un angolo $α$ , $β$ e la loro differenza $α - β$ :

Con le funzioni goniometriche abbiamo che

$\sin(\alpha+\beta) \neq \sin\alpha + \sin\beta$

e per rendersene conto è sufficiente un semplice esempio: $\alpha=\beta=30^{\circ}$ il cui seno vale $\frac{1}{2}$ . È ovvio che $\sin 60^{\circ} \neq \sin 30^{\circ}+\sin30^{\circ}$ perché i rispettivi risultati sono $\frac{\sqrt{3}}{2}$ e 1.

Per avere il coseno e il seno dell'angolo $α - β$ , è necessario utilizzare delle formule fondamentali da ricordare.

[modifica] Formule di Sottrazione e Addizione

Queste formule permettono di ottenere il seno e il coseno di una somma algebrica di due angoli tramite il seno e il coseno dei singoli addendi. Non mi metto a scrivere tutti i calcoli che bisogna fare per arrivare a queste formule (potete ad esempio trovarli nella pagina http://ripmat.it/mate/i/ic/icaaa.html), mi limito a scrivere le formule cosicché puoi memorizzarle e consultarle velocemente.

$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ$

$sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ$

$cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ$

$cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$

Riguardo tangente e cotangente:

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$

$\cot(\alpha+\beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta -1}{\cot\beta+\cot\alpha}$

$\cot(\alpha-\beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta +1}{\cot\beta-\cot\alpha}$

[modifica] Formule di Duplicazione

Sono formule strettamente derivate dalle formule precedenti, ponendo $α = β$ .

Il motivo di queste formule deriva dal fatto che in generale:

$2\sin\alpha \neq \sin 2\alpha$

$2\cos\alpha \neq \cos 2\alpha$ ecc...

Valgono allora le seguenti formule che permettono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo doppio rispetto a quello dato.

$sin2α = 2sinαcosα$

$\cos2\alpha=\left\{ \begin{array}{l} \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ 1-2\sin^2\alpha\\ 2\cos^2\alpha-1 \end{array} \right.$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \alpha\neq\pi+2k\pi \wedge \alpha\neq\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$

$\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha},\alpha\neq k\frac{\pi}{2}$

[modifica] Formule di Bisezione

Le formule di bisezione consentono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente della metà di un generico angolo $α$ , avendo il coseno di $α$ .

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\left\{ \begin{array}{l} +\ se\ \frac{\alpha}{2}\ I\ o\ II\ quadrante\\ -\ se\ \frac{\alpha}{2}\ III\ o\ IV\ quadrante \end{array} \right.$

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\left\{ \begin{array}{l} +\ se\ \frac{\alpha}{2}\ I\ o\ IV\ quadrante\\ -\ se\ \frac{\alpha}{2}\ II\ o\ III\ quadrante \end{array} \right.$

$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\left\{ \begin{array}{l} +\ se\ \frac{\alpha}{2}\ I\ o\ III\ quadrante\\ -\ se\ \frac{\alpha}{2}\ II\ o\ IV\ quadrante \end{array} \right.$

$\cot\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}\left\{ \begin{array}{l} +\ se\ \frac{\alpha}{2}\ I\ o\ IV\ quadrante\\ -\ se\ \frac{\alpha}{2}\ II\ o\ III\ quadrante \end{array} \right.$

[modifica] Formule di Prostaferesi

Le formule di prostaferesi permettono di trasformare una somma o sottrazione di seni, coseni, ecc... in un prodotto.

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\ ,\ \alpha,\beta\neq \frac{(2k+1)\pi}{2}$

$\cot\alpha\pm\cot\beta=\frac{\sin(\beta\pm\alpha)}{\sin\alpha\sin\beta}\ ,\ \alpha,\beta\neq k\pi$

[modifica] Formule di Werner

Queste formule sono un po' l'inverso delle formule di prostaferesi, ovvero le formule di Werner consentono di trasformare il prodotto di due seni, coseni o un prodotto di seno per un coseno, nelle rispettive somme o differenze.

$\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right]$

$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right]$

$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right]$

[modifica] Formule parametriche

Le formule parametriche consentono di ricavare seno, coseno e cotangente mediante la tangente dell'angolo metà.

$\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$

$\tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cot\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2} }{2\tan\frac{\alpha}{2} }$

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