Meccanica razionale/Cinematica/Moto relativo

Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.

Meccanica razionale

Sommario
Categoria · Copertina · Sviluppo · modifica il template

Copertina

Richiami di calcolo vettoriale
Cinematica
1. Cinematica del punto
2. Cinematica dei sistemi rigidi
3. Cinematica del punto nel moto relativo
Statica
Dinamica del punto materiale e dei sistemi dei punti materiali
Dinamica dei sistemi rigidi
Appendice (cap 1°)
1. Appendice (cap 1°)

[modifica] Teorema di Coriolis

Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:

$\ x=x(t)$

$\ y=y(t)$

$\ z=z(t)$

rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione). Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili. La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:

Parametri del moto della terna mobile.
Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.

[modifica] Velocità assoluta

$O m$ ,x,y,z è il sistema di assi mobilii ed il suo moto è individuato dalle componenti $u o$ , $v o$ , $w o$ della velocità di traslazione $V o$ del punto $O m$ rispetto agli assi fissi, e dal vettore rotazione $\bar{\mathbf{\Omega}}$ diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti p, q, r rispetto agli assi mobili.

Se $O f$ è l'origine degli assi fissi avremo:

$\vec{O_{f}P}=\vec{O_{f}O_{m}}+\vec{O_{m}P}$

La velocità assoluta è data da:

${d(\vec{O_{f}P})\over dt}={d(\vec{O_{f}O_{m}})\over dt}+{d\over dt}(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})={d\vec{O_{f}O_{m}}\over dt}+x{d\vec{i}\over dt}+y{d\vec{J}\over dt}+z{d\vec{k}\over dt}+\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}$

$\vec{V_{a}}=\vec{V_{o}}+\vec\Omega\wedge{\vec{OP}}+\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}$

Il termine

$\vec{V_{r}}=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}$

di quest'ultima equazione rappresenta la velocità del punto P qualora la terna $O m x y z$ fosse fissa, cioè rappresenta la velocità di P relativa alla terna mobile ed è quindi chiamata velocità relativa.

mentre il termine:

$\vec{V_{t}}=\vec{V_{o}}+\vec\Omega\wedge{\vec{OP}}$

rappresenta la velocità del punto P come se fosse rigidamente collegato con la terna mobile. Questo termine è noto come velocita di trascinamento $\vec{V_{t}}$ . Concludendo possiamo dire che la velocità assoluta è data:

$\vec{V_{a}}=\vec{V_{t}}+\vec{V_{r}}$

[modifica] Accelerazione assoluta

La derivata rispetto al tempo della formula precedente rappresenta ovviamente l'accelerazione assoluta. Pertanto:

$\vec{a_{a}}={d\vec{V_{o}}\over dt}+\vec{\Omega}\wedge{d\vec{OP}\over dt}+{d\vec{\Omega}\over dt}\wedge\vec{OP}+\dot{x}{d\vec{i}\over dt}+\dot{y}{d\vec{j}\over dt}+\dot{z}{d\vec{k}\over dt}+\ddot{x}{d\vec{i}\over dt}+\ddot{y}{d\vec{j}\over dt}+\ddot{z}{d\vec{k}\over dt}$

$={d\vec{V_{o}}\over dt}\wedge{[(\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k})+(x{d\vec{i}\over dt}+y{d\vec{j}\over dt}+z{d\vec{k}\over dt})]}+{d\vec{\Omega}\over dt}\wedge{\vec{OP}}+\dot{x}{d\vec{i}\over dt}+\dot{y}{d\vec{j}\over dt}+\dot{z}{d\vec{k}\over dt}+\ddot{x}\vec{i}+\ddot{y}\vec{j}+\ddot{x}\vec{k}$

Sviluppando otteniamo tre termini:

$(1)[{d\vec{V_{o}}\over dt}+\vec{\Omega}\wedge{(x{d\vec{i}\over dt}+y{d\vec{j}\over dt}+z{d\vec{k}\over dt})}+{d\vec{\Omega}\over dt}\wedge{\vec{OP}}]$

$(2)[\dot{x}{d\vec{i}\over dt}+\dot{y}{d\vec{j}\over dt}+\dot{z}{d\vec{k}\over dt}+\vec{\Omega}\wedge{(\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k})}]$

$(3)[\vec{a_{r}}=\ddot{x}\vec{i}+\ddot{y}\vec{j}+\ddot{z}\vec{k}]$

Il primo termine, ricordando che ${d\vec{i}\over dt}=\vec{\Omega}\wedge{\vec{i}}$ ed analoghe per $\vec{j}$ e $\vec{k}$ , rappresenta l'accelerazione di trascinamento di P come rigidamente connesso con $O m$ xyz:

$\vec{a_{t}}={d\vec{V_{o}}\over dt}+\vec{\Omega}\wedge{\vec{\Omega}}\wedge{\vec{OP}}+{d\vec{\Omega}\over dt}\wedge{\vec{OP}}$

Il secondo termine , ricordando sempre che ${d\vec{i}\over dt}=\vec{\Omega}\wedge{\vec{i}}$ , è quello che si chiama l'accelerazione complementare o di Coriolis:

$\vec{a_{c}}=2\vec{\Omega}\wedge{\vec{V_{R}}}$

Il terzo termine è l'accelerazione di di P rispetto ad $O m$ xyz come se questo fosse fermo nello spazio ed è, quindi, l'accelerazione relativa:

$\vec{a_{r}}=\ddot{x}{d\vec{i}\over dt}+\ddot{y}{d\vec{j}\over dt}+\ddot{z}{d\vec{k}}$

Se la terna mobile si muove di moto di traslazione uniforme, cioè ${d\vec{V_{o}}\over dt}=0$ e $\vec{\Omega}=0$ , l'accelerazione assoluta del punto coincide esattamente con l'accelerazione relativa. Se la terna mobile si muove unicamente di moto traslatorio, cioè $\vec{\Omega}=0$ , si ha: