Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Il plasma/Fisica del plasma

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Microtecnologia
Nanotecnologia

Le due relazioni matematiche che servono a descrivere un plasma sono l'equazione di Poisson che collega il potenziale V_p\ locale del plasma alla densità di carica (qn_p\ ), dove q\ è la carica ed n_p\ il numero per unità di volume:

\nabla^2 V_p =-\frac 1{\epsilon_o} qn_p

e la distribuzione di Maxwell-Boltzmann che si assume valida (anche se spesso il sistema non si possa considerare propriamente all'equilibrio termodinamico). Secondo tale distribuzione:

n=n_{0}\exp{ \left[\frac{qV_p}{K_BT}\right] } \

dove gli esponenziali sono i fattori di Boltzmann che danno la probabilità che una carica si trovi in un punto a potenziale V_p\ quando il suo moto termico corrisponda a una temperatura T\ .

[modifica] Lunghezza di Debye

La combinazione opportuna di queste due grandezze serve a definire una lunghezza che ha un ruolo essenziale nella fisica del plasma la lunghezza di Debye. Il ragionamento si può semplificare nella maniera seguente.

Si consideri un gas ionizzato con densità uniforme di elettroni liberi n_e\ e di ioni positivi n_i\ ionizzati Z_i\ volte (n_e\ =Zn_i\ ). Se il sistema è in equilibrio termodinamico in un potenziale elettrostico V_p\ ed introduciamo una carica q\ in r=0\ ,, le cariche di disporranno secondo la distribuzione di Boltzmann:

n_e(r)=n_{e0}\exp{ \left[\frac{eV_p}{K_BT}\right] } \
n_i(r)=n_{i0}\exp{\left[-\frac{Z_ieV_p}{K_BT}\right]}\

Il potenziale risultante si otterrà risolvendo l'equazione di Poisson:

\nabla^2 V_p =-\frac 1{\epsilon_o} \left[ q\delta(r)\ -en_e e^{ \frac{eV_p}{K_BT} } +e \sum_i^{Z_i}n_i\ e^{ -\frac{Z_ieV_P}{K_BT} } \right]

Dove \delta(t)\ è la funzione delta di Dirac che rappresenta in questo caso una una carica puntiforme. Linearizzando gli esponenziali per e\frac{ V_p }{K_BT} \ll 1 \ (energia termica media delle particelle più grande dell’energia potenziale elettrostatica), si ottiene:

\nabla^2 V_p\ -\frac{V_p}{\lambda_D^2\ (1+Z)^{-1}} =-\frac 1{\epsilon_o} q\delta(r)\

se si definisce:

\lambda_D^2\ =\frac{\epsilon_o K_BT}{e^2n\ }

(Z è il valore medio della carica ionica) si ha che in coordinate polari la soluzione del potenziale nell'intorno della carica q\ è:

V_p =\frac{q}{r}e^{-( \frac{r}{\lambda_D} )(1+Z)^{ {1 \over 2} } }

Il risultato indica che intorno ad ogni carica q\ il plasma crea una nuvola di carica spaziale che riduce il potenziale elettrico coulombiano fino ad annullare l’effetto di carica singola su distanze superiori a \lambda_D\ , che prende appunto il nome di lunghezza di Debye. A distanze superiori alla lunghezza di Debye si misurano solo gli effetti collettivi e non quelli delle singole cariche. Nel caso di un plasma in cui le cariche mobili siano essenzialmente gli elettroni, la lunghezza di Debye vale:

\lambda_D = 740 \sqrt[]{\frac{K_BT}{n_e}} [cm]\

dove l'energia termica K_BT\ è espressa in eV\ ( K_BT\approx 1\ eV\ a T = 11.400 K\ ) e n_e\ in cm^{-3}\ .

Si può notare quindi che la lunghezza di Debye diminuisce al crescere della densità elettronica, (perché sono disponibili più elettroni per schermare), ed aumenta al crescere della temperatura (poiché aumenta la mobilità delle cariche).

In generale la componente del plasma che più influenza la lunghezza di Debye è la densità elettronica, in quanto gli elettroni hanno una mobilità molto superiore rispetto agli ioni, che è dovuta alla minore inerzia.

[modifica] Valori tipici della lunghezza di Debye

Per dare una idea una tabella :

Plasma Densità
ne(m-3)		 Temperatura degli elettroni
T(K)		 lunghezza di Debye
λD(m)
Scarica nei gas 1016 104 10−4
Ionosfera 1012 103 10−3
Magnetosfera 107 107 102

[modifica] Numero di Debye

Il numero medi elettroni in un plasma contenuto dentro una sfera pari alla lunghezza di Debye viene chiamato numero di Debye:

N_D = \frac {4\pi}{3} n \lambda_D^3

Spesso invece si usa una altra grandezza adimensionale, praticamente coincidente a meno di un fattore 3, detto parametro di plasma, che segue dalla teoria dello scattering Coulombiano

\Lambda = 4\pi n \lambda_D^3

Infine spesso infine il fattore 4π / 3 è trascurato. Essendo la lunghezza di Debye \lambda_D = \sqrt{\frac{\epsilon_0 k T_e}{n_e e^2}}, segue che il tale numero vale

N_D = \frac{(\epsilon_0 K_B T_e)^{3/2}}{e^3 n_e^{1/2}}

Se N_D\ è molto inferiore ad 1 si ha gli urti due a due tra le particelle sono il fenomeno fisico dominante, nell'altro caso estremo in cui N_D\ molto maggiore di 1 si ha il cosidetto plasma ideale in cui bisogna considerare il comportamento collettivo del plasma. In questo caso l'equazione di stato dei gas descrive bene il conportamento delle varie componenti del plasma. In genere i plasmi usati nei processi tecnologici a causa delle basse densità sono un caso di plasma non ideale.

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