Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Il plasma/Lo schermo di Debye

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Microtecnologia
Nanotecnologia

Il parametro essenziale per definire lo stato di plasma è la presenza di cariche libere: un plasma non sarà quindi caratterizzato fisicamente dalla densità e dalla temperatura separatamente, ma tramite una loro combinazione che assicuri la sostanziale presenza di fenomeni di ionizzazione.

In un gas ionizzato lo stato di prevalenza degli effetti collettivi è raggiungibile aumentando il numero di particelle cariche interagenti, in quanto, sebbene le forze elettrostatiche, che consentono interazioni a lunghe distanze, decrescano ∝ r^{-2}\ , è però vero che il numero delle cariche interagenti, se la distribuzione è uniforme, cresce ∝ r^{3}\ . Pertanto è possibile, per un numero totale di cariche sufficientemente grande che i campi elettrici (e magnetici) del loro insieme si sommino in maniera coerente dando origine a un comportamento a molti corpi, a differenza di quanto avviene in un gas neutro in cui le particelle interagiscono essenzialmente in urti a corto raggio.

La lunghezza scala al di sopra della quale in un gas ionizzato gli effetti microscopici vengono mediati collettivamente può essere calcolata seguendo uno ragionamento proposto da Debye.

Si consideri un gas ionizzato con densità uniforme di elettroni liberi n_e\ e di ioni positivi n_i\ ionizzati Z_i\ volte (n_e\ =Zn_i\ ). Se il sistema è in equilibrio termodinamico in un potenziale elettrostico V_p\ ed introduciamo una carica q\ in r=0\ ,, le cariche di disporranno secondo la distribuzione di Boltzmann:

n_e(r)=n_{e0}\exp{ \left[\frac{eV_p}{K_BT}\right] } \
n_i(r)=n_{i0}\exp{\left[-\frac{Z_ieV_p}{K_BT}\right]}\

dove gli esponenziali sono i fattori di Boltzmann che danno la probabilità che una carica si trovi in un punto a potenziale V_p\ quando il suo moto termico corrisponda a una temperatura T\ . Il potenziale risultante si otterrà risolvendo l'equazione di Poisson:

\nabla^2 V_p =-\frac 1{\epsilon_o} \left[ q\delta(r)\ -en_e e^{ \frac{eV_p}{K_BT} } +e \sum_i^{Z_i}n_i\ e^{ -\frac{Z_ieV_P}{K_BT} } \right]

Linearizzando gli esponenziali per e\frac{ V_p }{K_BT} \ll 1 \ (energia termica media delle particelle più grande dell’energia potenziale elettrostatica), si ottiene:

\nabla^2 V_p\ -\frac{V_p}{\lambda_D^2\ (1+Z)^{-1}} =-\frac 1{\epsilon_o} q\delta(r)\

dove:

\lambda_D^2\ =\frac{\epsilon_o K_BT}{e^2n\ }

(Z è il valore medio della carica ionica) che si risolve in:

V_p =\frac{q}{r}e^{-( \frac{r}{\lambda_D} )(1+Z)^{ {1 \over 2} } }

Il risultato indica che intorno ad ogni carica q\ il plasma crea una nuvola di carica spaziale che riduce il potenziale elettrico coulombiano fino ad annullare l’effetto di carica singola su distanze superiori a \lambda_D\ , che prende il nome di lunghezza di Debye. A distanze superiori alla lunghezza di Debye si misurano solo gli effetti collettivi e non quelli delle singole cariche. Nel caso di un plasma in cui le cariche mobili siano essenzialmente gli elettroni, la lunghezza di Debye vale:

\lambda_D = 740 \sqrt[]{\frac{K_BT}{n_e}} [cm]\

dove l'energia termica K_BT\ è espressa in eV\ ( K_BT\approx 1\ eV\ a T = 11.400 K\ ) e n_e\ in cm − 3.

Si può notare quindi che la lunghezza di Debye diminuisce al crescere della densità elettronica, (perché sono disponibili più elettroni per schermare), ed aumenta al crescere della temperatura (poiché aumenta la mobilità delle cariche).

In generale la componente del plasma che più influenza la lunghezza di Debye è la densità elettronica, in quanto gli elettroni hanno una mobilità molto superiore rispetto agli ioni, che è dovuta alla minore inerzia.

[modifica] Quasi-neutralità dei plasmi

La distribuzione di Boltzmann usata nel precedente paragrafo indica che lo stato di equilibrio in presenza di cariche libere è caratterizzato dal fatto che le differenze di energie elettrostatiche tra diversi punti generate da cariche spaziali siano inferiori all’energia media del moto termico; per elettroni:

-e\Delta\ V_p\ K_BT_e\

Considerando un plasma con densità di ioni positivi n_i\ ed elettroni negativi n_e\ , e cariche Z_ie\ e -e\ , l'equazione di Poisson su una distanza tipica L\ comporta:

\nabla^2 V_p \approx \frac{V_p}{L^2} \Delta = -4\pi e \left( \sum_{}^{} Z_i n_i - n_e \right)

Tenendo conto della definizione di lunghezza di Debye, si ha come conseguenza che per L>\ \lambda_D\ :

\left| n_e - \sum_{}^{} Z_i n_i \right| \ll n_e\

Questo risultato implica la quasi-neutralità di un plasma: da un punto di vista macroscopico ioni ed elettroni sono vincolati a muoversi senza apprezzabile separazione di carica, sono cioè sempre legati collettivamente da effetti di carica spaziale.

[modifica] Il parametro del plasma

Nelle considerazioni precedenti è implicito che entro una sfera di Debye esista un numero sufficiente di particelle per poter parlare di comportamento medio; pertanto:

N_D = \frac{4\pi\ }{3} n \lambda_D^3 \gg 1\

Si deriva immeditamente che questa condizione coincide in effetti con la richiesta che la ionizzazione sia efficiente, cioè che l’energia termica sia grande rispetto alle forze coulombiane tra le singole particelle che tendono verso la ricombinazione:

\frac{K_BT}{ \frac{e^2}{r} } = \frac{K_BT}{e^2n^{ {1 \over 3} }} = 4\pi\ \lambda_D^2\ n^{ {2 \over 3 }} = ( 36\pi )^{{1 \over 3}}N_D^{ {2 \over 3} } \gg 1


Scale, densità, temperature di plasmi tipici

La quantità g = (n\lambda_D^3)^{-1} è chiamata parametro del plasma; quando è molto minore di 1\ gli effetti collettivi sono dominanti.

[modifica] La conduttività elettrica

Il raggiungimento della quasi-neutralità in un plasma è legata alla capacità delle cariche elettriche a rispondere alla presenza di un campo elettrico pur in presenza di collisioni che ne ostacolino il moto. Questa caratteristica è misurata dalla conduttività elettrica \sigma\ , definita come il rapporto tra la densità di corrente che si genera e il campo elettrico che la induce:

j = E\ \sigma\

In realtà la conduttività è un tensore in quanto i plasmi sono anistropi soprattutto in presenza di campi magnetici; ma nei casi più semplici (ad es. per plasmi omogenei non magnetizzati) si riduce a uno scalare. Si ottiene una semplice espressione per \sigma\ ricordando che il trasporto di carica è sempre effettuato dagli elettroni che hanno maggior mobilità:

j = -vne\ ,

m\frac{dv}{dt} =-eE\


e utilizzando la frequenza di collisione v_c\ come tempo scala su cui avviene l’accelerazione da parte del campo elettrico:

vmv_c\ =eE\

si può scrivere:

\sigma\ =\frac{ne^{2}}{mv_c}

Plasmi ad alta conduttività possono essere considerati sempre in condizioni di quasi-neutralità e sono modellati come un fluido elettricamente conduttore (modello magneto-idrodinamico).

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