Trigonometria

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Indice del libro: Trigonometria
0 Introduzione: gli angoli e la loro misura  
1 Funzioni goniometriche 1.1 Seno

1.2 Coseno

1.3 Tangente e cotangente

1.4 Le funzioni inverse

1.5 Archi associati

1.6 Relazioni trigonometriche fondamentali

2 Formule goniometriche 2.1 Formule di addizione e sottrazione

2.2 Formule di duplicazione

2.3 Formule di bisezione

2.4 Formule di prostaferesi

2.5 Formule di Werner

3 Triangoli 3.1 Teoremi sui triangoli rettangoli

3.2 Teoremi sui triangoli qualunque

4 Applicazioni 4.1 Equazioni goniometriche

4.2 Disequazioni goniometriche

 



Gli angoli e la loro misura[modifica]

Per angolo si intende la porzione di piano compreso tra due semirette aventi l'origine in comune.

Tali semirette prendono il nome di lati dell'angolo, mentre l'origine prende il nome di vertice dell'angolo.

La misura di un angolo è effettuata utilizzando due diverse unità di misura:

Misure in gradi[modifica]

Si considera come unità di misura 1/90 dell'angolo retto: in questo modo ogni angolo può essere espresso come frazione dell'angolo retto, che misura, appunto, 90 gradi (in simboli: 90°) Non vengono utilizzati però centesimi e decimi di grado, bensì si fa uso di multipli non decimali, che prendono il nome di sessagesimali. In questo modo, otteniamo il primo (pari a 1/60 di grado) e il secondo(pari ad 1/3600 di grado). Ad esempio, consideriamo l'angolo corrispondente alla 20 parte dell'angolo retto:

90÷20=4.5°

4.5 gradi = 4 gradi, 0.5×60 primi = 4°30'

Misure in radianti[modifica]

Consideriamo una circonferenza con centro nell'origine.

Definizione:

Si dice che un angolo ha la misura di un radiante se l'arco sotteso da tale angolo, rettificato, ha lunghezza pari al raggio.

Per misura di un angolo in radianti possiamo quindi misurare il rapporto fra l'arco sotteso rettificato e il raggio della circonferenza.

Essendo la misura dell'intera circonferenza pari a 2πr, ne segue che la misura dell'angolo giro, in radianti, sarà proprio 2π.

Ad esempio, l'angolo retto, pari ad \frac{1}{4} dell'angolo giro, misurerà: π/2 radianti. L'angolo piatto, metà angolo giro, misurerà π radianti.

In generale, per passare dalla misura in gradi di un angolo alla misura in radianti dello stesso angolo, il modo migliore è fare una proporzione: 180° sta a π come alfa(in gradi) sta ad alfa(in radianti).

Trasformazione della misura dell'angolo[modifica]

Partendo dalla constatazione che l'intera circonferenza misura 2πr, possiamo impostare la seguente proporzione per trasformare un angolo da gradi sessagesimali in radianti o viceversa:

rad : 2π = deg : 360°


Facciamo un esempio[modifica]

Consideriamo l'angolo pari a 22.5°. Avremo:

22.5:360°=rad:2π

Da cui:

rad=π/8

L'angolo pari a 22.5° misura π/8 radianti.