Trigonometria/Formule goniometriche

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Formule di addizione e sottrazione[modifica]

Le formule di addizione e sottrazione servono per esprimere le funzione goniometriche di una somma (o sottrazione) di due angoli di cui sono già note le funzioni.[1]

\begin{align}\sin(\alpha\pm\beta)&=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\\\cos(\alpha\pm\beta)&=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\\\tan(\alpha\pm\beta)&=\frac{\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{(1\mp\tan\alpha\tan\beta)}\end{align}\,\!

Anal

Formule di duplicazione[modifica]

Le formule di duplicazione, che si ricavano dalle precedenti, servono per esprimere le funzione goniometriche di un angolo doppio di un angolo di cui si conoscono già le funzioni.

\begin{align}\sin 2\alpha &= \sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\
\cos 2\alpha &= \cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\
\tan 2\alpha &=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\end{align}\,\!

Formule di bisezione[modifica]

Le formule di bisezione servono per esprimere le funzioni goniometriche di un angolo pari alla metà di un angolo di cui si conoscono già le funzioni.[2]

\begin{align}\sin\frac{\alpha}{2} &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\\\cos\frac{\alpha}{2} &= \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\\\tan\frac{\alpha}{2} &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\end{align}

Formule di prostaferesi[modifica]

Le formule di prostaferesi trasformano somme e sottrazioni di funzioni goniometriche in prodotti.

\begin{align}\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\tan\alpha\pm\tan\beta&=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\end{align}\,\!

Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner.

Prima formula di prostaferesi[modifica]

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}

Dimostrazione[modifica]

La formula di partenza può essere riscritta come:

\sin \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2}\right)+\sin \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno, si ottiene:

\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} + \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}

Utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:

\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:

2\sin \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}

Seconda formula di prostaferesi[modifica]

\sin\alpha-\sin\beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\sin \frac {\alpha-\beta}{2}

Dimostrazione[modifica]

La formula di partenza può essere riscritta come:

\sin \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2} \right)-\sin \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2} \right)

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno, si ottiene:

\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} - \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:

\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:

2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\sin \frac {\alpha-\beta}{2}

Terza formula di prostaferesi[modifica]

\cos\alpha+\cos\beta=2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}

Dimostrazione[modifica]

La formula di partenza può essere riscritta come:

\cos \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2}\right)+\cos \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno, si ottiene:

\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} - \sin \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:

\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + \sin \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:

2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}

Quarta formula di prostaferesi[modifica]

\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin \frac {\alpha+\beta}{2}\sin \frac {\alpha-\beta}{2}

Dimostrazione[modifica]

La formula di partenza può essere riscritta come:

\cos \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2}\right)-\cos \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno, si ottiene:

\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} + \sin \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene:

\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \sin \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene:

-2\sin \frac {\alpha+\beta}{2}\sin \frac {\alpha-\beta}{2}

Formule di prostaferesi per la tangente[modifica]

\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac {\sin(\alpha\pm\beta)} {\cos\alpha \cos\beta} con \alpha,\beta \ne (2k+1) \frac{\pi}{2} ; k \in \Z

Dimostrazione[modifica]

La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di tangente, come:

\frac {\sin\alpha} {\cos\alpha} \pm \frac {\sin\beta} {\cos\beta}

Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i coseni non siano nulli:

\frac {\sin\alpha\cos\beta} {\cos\alpha\cos\beta} \pm \frac {\sin\beta\cos\alpha} {\cos\beta\cos\alpha}

Da cui, raccogliendo il denominatore:

\frac {\sin\alpha\cos\beta \pm \sin\beta\cos\alpha} {\cos\alpha\cos\beta}

Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno, si ottiene per sostituzione:

\frac {\sin(\alpha\pm\beta)} {\cos\alpha \cos\beta}

Formule di prostaferesi per la cotangente[modifica]

\cot\alpha\pm\cot\beta=\frac {\sin(\beta\pm\alpha)} {\sin\alpha \sin\beta} con \alpha,\beta \ne k \pi ; k \in \Z

Dimostrazione[modifica]

La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di cotangente, come:

\frac {\cos\alpha} {\sin\alpha} \pm \frac {\cos\beta} {\sin\beta}

Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i seni non siano nulli:

\frac {\cos\alpha\sin\beta} {\sin\alpha\sin\beta} \pm \frac {\cos\beta\sin\alpha} {\sin\beta\sin\alpha}

Da cui, raccogliendo il denominatore:

\frac {\cos\alpha\sin\beta \pm \cos\beta\sin\alpha} {\sin\alpha\sin\beta}

Da cui, giacché il numeratore è il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno, si ottiene per sostituzione:

\frac {\sin(\beta\pm\alpha)} {\sin\alpha \sin\beta}

Formule di Werner[modifica]

Le formule di Werner trasformano prodotti di funzioni goniometriche in somme e sottrazioni.

\begin{align}\sin\alpha\sin\beta &= \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]\\
\cos\alpha\cos\beta &= \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\\
\sin\alpha\cos\beta &= \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\end{align}\,\!

Note[modifica]

  1. La formula per la tangente si ottiene dividendo numeratore e denominatore per cos α cos β.
  2. Le formule per la tangente si ottengono considerando che sin2 α = 1 – cos2 = (1 – cos α)(1 + cos α).