Calcoli scientifici con Julia/Big Bang

Usando la legge di Gauss si può arrivare a una dimostrazione molto semplice e trasparente di una singolarità temporale analoga a quella del Big Bang da cui ha avuto origine l'universo 13,8 miliardi di anni fa.

Supponendo che l'universo si possa rappresentare tramite una sfera di raggio r (raggio di curvatura dell'universo) allora per la legge di Gauss la forza su una particella situata a distanza r dipende solo dalla massa M(r) contenuta nella sfera per cui si ottiene l'equazione differenziale:

${\ddot {r}}(t)=-{\frac {G*M(r)}{r(t)^{2}}}.$

Se si ipotizza l'universo omogeneo per cui la densità media è la stessa ovunque, sapendo la formula del volume di una sfera si ha :

$M(r)={\frac {4\pi }{3}}r^{3}\rho (t).$

Se si suppone la densità costante, sostituendo tale equazione nella precedente si ottiene l'equazione differenziale:

${\ddot {r}}=-{\frac {G(4\pi /3)r^{3}\rho }{r^{2}}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\rho *r.$

Soluzione dell' equazione con wxMaxima

Utilizzando il programma wxMaxima per trovare la soluzione generale e particolare dell'equazione si ottiene:

assume(G>0,ρ>0);
'diff(r,t,2)=-(4*π*G*ρ)/3 * r;

${\frac {{d}^{2}}{d{{t}^{2}}}}r=-{\frac {4\pi Gr\rho }{3}}$

La soluzione generale è:

ode2(%, r, t);

$r=\mathrm {\%k1} \sin {\left({\frac {2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {G}}t{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {3}}}\right)}+\mathrm {\%k2} \cos {\left({\frac {2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {G}}t{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {3}}}\right)}$

Essendo la derivata seconda di r sempre negativa, allora r(t) è concava quindi esiste un tempo in cui il raggio r risulta 0 (singolarità cosmologica del big bang). Imponendo che risulti 0 per t=0 si ottiene la seguente soluzione particolare:

ic2(%, t=0, r=0, 'diff(r,t)=1);

$r={\frac {{\sqrt {3}}\sin {\left({\frac {2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {G}}t{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {3}}}\right)}}{2{\sqrt {\pi }}{\sqrt {G}}{\sqrt {\rho }}}}$

Tracciamento del grafico della soluzione particolare con Julia

Scriviamo l'equazione differenziale come sistema:

• (u[1] = r(t))
• (u[2] = \dot r(t))

${\dot {u}}_{1}=u_{2},\quad {\dot {u}}_{2}=-{\frac {4\pi G}{3}}\rho (t)u_{1}.$

using DifferentialEquations
using Plots

function odefunc!(du,u,p,t)
    G, ρ = p
    du[1] = u[2]
    du[2] = -(4π*G/3)*ρ*u[1]
end

Risolviamo l'equazione differenziale:

G = 6.67e-11
ρ = 1e-26   # esempio densità in kg/m^3
u0 = [0.0, 1.0]   # r(0)=0, ṙ(0)=1
tspan = (0.0, 1.87e18 )

prob = ODEProblem(odefunc!, u0, tspan, (G, ρ))

Tracciamo il grafico:

sol = solve(prob)
plot(sol, vars=(0,1), xlabel="t", ylabel="r(t)", title="Soluzione particolare di r''\n(inizio e fine dell'universo)")

Conclusioni

Nel modello con densità costante si usa un’ipotesi non realistica, infatti per l’universo la densità decresce con l’espansione (al crescere del raggio di curvatura). Questa analisi è solo un esercizio utilissimo, ma non corrisponde alla fisica reale, né ai modelli di Friedmann, dove però in ogni caso per $t\to 0^{+}$ la densita diverge a +infinito che sarebbe proprio la singolarità cosmologica iniziale del big bang.