Calcolo numerico/Calcolo di autovalori estremi

Osservazione 3.2

Gli autovalori di una matrice sono le radici del polinomio caratteristico, ma non è conveniente calcolarli in questo modo. Al contrario, a volte il problema del calcolo delle radici di un polinomio viene ricondotto al calcolo degli autovalori di una matrice. Infatti dato un polinomio di grado $n$ della forma

$p_{n}=\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0},$

associo a esso una particolare matrice della forma:

${\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&1\\1&0&0&0&a_{n-1}\\0&1&0&0&\dots \\0&0&1&0&a_{1}\\0&0&0&1&a_{0}\end{array}}$

Condizionamento

Teorema 3.4 (teorema di Bauer-Flick)

Sia $A$ una matrice in $\mathrm {Mat} _{n,\mathbb {C} }$ diagonalizzabile, della forma $S\lambda S^{-1}$. Sia $E\in \mathrm {Mat} _{n,\mathbb {C} }$ matrice di perturbazione e consideriamo $\mu =\lambda (A+E)$, autovalore di $A+E$. Allora

$\min _{i=1}^{n}|\mu -\lambda _{i}(A)|\leq K(S)*\vert E\vert$

con la norma matriciale assoluta.

Una norma matriciale assoluta è tale che la norma di una matrice diagonale è

$\max _{i=1}^{n}|A_{ii}|$

Le norme 1,2, infinito sono norme assolute.

Caso particolare: supponiamo che $A$ sia hermitiana, diagonalizzata tramite matrici unitarie $Q,Q_{h}$. Allora

$\vert Q\vert =\vert Q_{h}\vert =1$

Allora $K(Q)=K(S)=1$.

Se $A$ è hermitiana, il problema del calcolo di autovalori è ben condizionato.

Se $A$ non è hermitiana, allora il problema può essere ben condizionato o mal condizionato, e il condizionamento dipende dalla matrice $S$.