Calcolo numerico/Cos'è l'aritmetica floating point

I calcolatori usano la rappresentazione dei numeri in base 2, e usano la rappresentazione dei numeri in virgola mobile normalizzata.

Rappresentazione in virgola fissa in base 10

Consideriamo un qualsiasi numero reale $\alpha \in \mathbb {R}$, allora

$\alpha =\mathrm {sgn} \alpha ,\alpha _{n}\alpha _{n-1}\dots \alpha _{0}\alpha _{-1}\alpha _{-2}\alpha _{-n}$

dove $\alpha _{k}\in [0,9]$, $k\in \mathbb {Z}$, $k>=0=$ parte intera, $k<0=$ mantissa), e $\alpha _{n}\neq 0$.

Equivalentemente, si scrive

$\alpha =\mathrm {sgn} \alpha (\alpha _{n}10^{n}+\alpha _{n-1}10^{n-1}+\dots +\alpha _{0}*10^{0}+\alpha _{-1}*10^{-1}+\dots +\alpha _{-n}*10^{-n}+\dots )$

$=\mathrm {sgn} \alpha *(\sum _{k=-\infty }^{n}\alpha _{k}10^{k})\quad {\hbox{rappresentazione}}\ast$

Teorema 1.1

In base $\beta$, se supponiamo che non esista ${\bar {k}}$ tale che $\forall k\leq {\bar {k}}$ $a_{k}=\beta -1$, allora esiste unica la rappresentazione $\ast$.

Esempio 1.2

Supponiamo di considerare

$\alpha =0.999999\dots$

violando l'ipotesi del teorema. Infatti, esiste ${\bar {k}}=-1$ tale che per ogni $k\leq {\bar {k}}=-1$, si ha $a_{k}=a_{k-1}=\beta -1$.

$\alpha =\sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}\beta ^{k}$

con il cambio di variabile $s=-k$, e tenendo conto che $\alpha _{k}=\beta -1$ per ogni $k<-1$,

$\alpha =\sum _{s=1}^{+\infty }(\beta -1)\beta ^{-s}$

$=(\beta -1)*\beta ^{-1}*\sum _{s=1}^{\infty }\beta ^{-s+1}$

$=(\beta -1)*\beta ^{-1}*\sum _{s=1}^{\infty }(1/\beta )^{s-1}$

$=(\beta -1)*\beta ^{-1}*\sum _{k=0}^{\infty }(1/\beta )^{k}$

e questa è la serie geometrica di ragione $1/\beta <1$, quindi

$\alpha =(\beta -1)*\beta ^{-1}*{\frac {1}{1-\beta ^{-1}}}=$

$\alpha =(\beta -1)*\beta ^{-1}*{\frac {\beta }{\beta -1}}=1$

e abbiamo trovato una rappresentazione differente del numero.

Il vantaggio della rappresentazione in virgola fissa è la semplicità. Lo svantaggio è l'uniformità. Fissiamo il numero di cifre della parte intera del numero e della sua parte decimale. I numeri che rappresentiamo sono equispaziati (uniformità). C'è quindi uno svantaggio se vogliamo lavorare contemporaneamente con numeri grandi e piccoli.

Rappresentazione equivalente in virgola mobile

$\alpha =\mathrm {sgn} \alpha (\sum _{k=n}^{-\infty }\alpha _{k}\beta ^{k}),\quad \alpha _{n}\neq 0$

Raccogliendo $\beta ^{n+1}$ otteniamo:

$\alpha =\mathrm {sgn} \alpha *[\beta ^{n+1}*\sum _{k=n}^{-\infty }\alpha _{k}\beta ^{k-(n+1)}]$

Si mette in evidenza l'ordine di grandezza del numero.

Ad esempio,

$-1234,56=-10^{4}*0,123456$

Cambio di variabile: $s=k-(n+1)$

$\alpha =\mathrm {sgn} \alpha *\beta ^{n+1}*(\sum _{s=-\infty }^{-1}\alpha _{s+n+1}\beta ^{s})$

$=\mathrm {sgn} \alpha *\beta ^{n+1}*(\sum _{k=1}^{\infty }\alpha ^{-k+n+1}\beta ^{-k})$

$=\mathrm {sgn} \alpha *(\beta ^{n+1})*0.\alpha _{n}\alpha _{n-1}\alpha _{1}\dots \alpha _{0}\dots )$

e stiamo usando una rappresentazione in virgola mobile che mette in evidenza l'ordine di grandezza.

Il vantaggio è che l'ordine di grandezza del numero viene messo subito in evidenza. Inoltre, se abbiamo un numero fissato di cifre di mantissa, allora i numeri non sono più equispaziati.

Struttura dell'insieme F dei numeri macchina

Sono fissati $\beta$, il numero $t$ di cifre di mantissa, $L,U$ che rappresentano il minimo e massimo esponente della base. Allora ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}(\beta ,t,L,U)$ è

$\{x\,t.c.\,x=\mathrm {sgn} x.(\alpha _{1}\dots \alpha _{t})*\beta ^{p}\}$

dove per le cifre vale che $0<\alpha _{i}<\beta -1$, e dove $\alpha _{1}\neq 0$ e dove $L<p<U$.

Si pone $\alpha _{1}\neq 0$ per risparmiare cifre, perché ad esempio, invece di scrivere $0,001$ si scrive $0,1*10^{-2}$.

Consideriamo per semplicità $\beta =10$, $t=2$, $L=-1$, $U=1$. Analizzo quindi la struttura di $F=F(10,2,-1,1)$.

$\{x=(\mathrm {sgn} x.\alpha _{1}\alpha _{2})10^{p},\quad 0<\alpha _{1}\leq 9,\,0\leq \alpha _{2}\leq 9\}$

Ci si chiede qual è il più piccolo numero positivo $m$ che si riesce a rappresentare.

$m=0.10*10^{-1}=1/100$

mentre

$M=0.99*10^{1}=9,9{\hbox{cifre ed esponente al valore massimo}}$

Sulla retta rappresentiamo $0,m,M$, e i numeri prima di $m$ e oltre $M$ non possono essere rappresentati in $F$.

$m=0.10*10^{-1}=0.01$

$x=0.10*10^{-1},\,x_{1}=0.11*10^{-1},x_{2}=0.12*10^{-1}\dots ,x_{n}=0.20*10^{-1}$

Calcolo la differenza tra i due numeri: chiamiamo spacing la differenza tra un numero $x$ e il successivo, cioè, in questo caso, $x_{i}-x=10^{-3}$.

Lo stesso si ripete in tutti gli intervalli della forma $(0.01,0.02)$ oppure $(0,02,0,03)$ etc.

Per i numeri successivi a $0.1*10^{0}$ si ha un cambiamento. Infatti, tra numeri del tipo

$x=0.10*10^{0},\,x_{1}=0,11*10^{0},\,\dots$

Lo spacing è $10^{-2}$.

Considerando la rappresentazione in virgola mobile, si ha che quando i numeri sono piccoli sono più vicini fra loro, man mano che il loro valore assoluto aumenta i numeri si diradano.

L'equispaziatura è uguale per valori con lo stesso ordine di grandezza.

Consideriamo il caso generale $f=f(\beta ,t,L,U)$. Allora si ha

1. $m=0.100000000\dots *\beta ^{L}$

2. $M=\beta ^{U}*\sum _{i=1}^{t}(\beta -1)*\beta ^{-i}.$

$M=\beta ^{U}*\sum _{i=1}^{t}(\beta -1)*\beta ^{-i}.$

$M=\beta ^{U}*\beta ^{-1}*\sum _{i=1}^{t}(\beta -1)*\beta ^{-i+1}.$

Cambio di variabile: $k+1=i$

$M=\beta ^{U}*\beta ^{-1}*\sum _{k=0}^{t-1}(\beta -1)*\beta ^{-k}.$

e per la somma della serie geometrica:

$M=\beta ^{U}*\beta ^{-1}*(\beta -1)*{\frac {1-\beta ^{-t}}{1-\beta ^{-1}}}.$

$M=\beta ^{U}*(\beta -1)*{\frac {1-\beta ^{-t}}{\beta -1}}.$

$M=\beta ^{U}*(1-\beta ^{-t})$

3. Quantità di numeri positivi tra $m$ e $M$ (lo stesso vale per i negativi). Abbiamo $t$ cifre di mantissa, e le possibilità con cui possiamo sceglierle sono:

$\beta ^{t}-\beta ^{t-1}$

Considerando gli esponenti a disposizione:

$(U-L+1)(\beta ^{t}-\beta ^{t-1})$

4. Spacing: se poniamo $x=0.1*\beta ^{L+1}$, il suo successivo è $0.1000001*\beta ^{L+1}$, e lo spacing è $\beta ^{L+1-t}$ nell'intervallo $(0.1*\beta ^{L+1},0.1*\beta ^{L+2})=(\beta ^{L},\beta ^{L+1})$. In generale, in un intervallo $(\beta ^{p},\beta ^{p+1})$, poniamo $x=0,1*\beta ^{p+1}$, e il successivo $0.100001*\beta ^{p+1}$, quindi lo spacing è $x_{s}-x=0.0001*\beta ^{p+1}=\beta ^{p+1-t}$ nell'intervallo $(\beta ^{p},\beta ^{p+1})$ (da ricordare).

Osservazione 1.1

Lo spacing diventa 1 quando $\beta ^{p+1-t}=1$, ovvero $p+1-t=0$, $p=t-1$. Quindi, nell'intervallo $(\beta ^{t-1},\beta ^{t})$ lo spacing è uguale a 1 e ci sono solo numeri interi.

Singola precisione

Per rappresentare un numero in singola precisione si hanno a disposizione 32 bit = 4 byte in base allo Standard i754, fissato nel 1985. In base 2, dei 32 bit, se ne usa 1 per il segno ($+=0$ o $-=1$), 8 bit per l'esponente, 23 bit per la mantissa. Per evitare di utilizzare un bit per il segno dell'esponente, si considerano solo esponenti positivi.

In particolare,

$L=-126,U=127$

$-126+127=1$

L'esponente -126 viene rappresentato con 1, e tutti gli esponenti vengono traslati di +127, e l'esponente massimo viene rappresentato con 254.

$-127\mapsto 0$ è l'esponente che viene riservato allo zero, o per i numeri denormalizzati.

$128=255=11111111$

è riservato a infinito o al not a number (risultato di un'operazione non definita).

Uso 23 bit di mantissa, ma si ha un bit extra perché il primo bit è per forza uguale a 1 e non lo memorizzo.

Quindi, in singola precisione, $t=24,\,m=+.10*2^{-126}=1.1755*10^{-38},\,M=+,11111*2^{127}=3.4028*10^{38}$.

Doppia precisione

Ogni numero occupa 64 bit e si utilizzano:

1. 1 bit per il segno del numero
2. 11 bit riservati all'esponente (shiftato di 1023)
3. 52 cifre riservate alla mantissa, + un bit extra, quindi $t=53$.

$m=.1*2^{-1022}=2.251*10^{-308},\,M=.111*2^{1023}=1.7977*10^{308}$

realmin e realmax indicano la barriera di underflow e la barriera di overflow, e nella doppia precisione ci sono 16 cifre decimali.