Calcolo numerico/Formule di quadratura approssimate

Descrizione del problema

Data una funzione $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, si vuole calcolare

$I_{f}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Siccome per ipotesi $f$ è continua, per il teorema fondamentale del calcolo esiste una primitiva $F$ tale che

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Approssimiamo $I_{f}$ con

$I_{n}(f)=\sum _{i=0}^{n}w_{i}*f(x_{i})\quad {\hbox{formula }}\ast$

dove gli $x_{i}$ vengono chiamati nodi e i $w_{i}$ vengono chiamati pesi. È quindi possibile calcolare gli integrali anche nel caso in cui si conoscono solo alcuni dati e non l'espressione della funzione.

Definizione

Si definisce errore analitico o resto la quantità $E_{n}(f)=I(f)-I_{n}(f)$.

Definizione

Si definisce grado di precisione di una formula di quadratura

$\max\{k\in \mathbb {Z} \,t.c.\,I_{n}(f)=I(f),\,\forall f\in P_{k}\}$

con $P_{k}$ insieme dei polinomi di grado $k$.

Si richiede che le costanti vengano sempre integrate esattamente, cioè $I_{n}(1)=I(1)$, quindi imponiamo la proprietà di consistenza:

$\sum _{i=0}^{n}w_{i}=\int _{a}^{b}1=b-a$

Se questa proprietà non è soddisfatta la formula non è un buon algoritmo per il calcolo degli integrali.

Formule di quadratura con interpolazione

Si pensa di approssimare $f$ con un polinomio di grado $n$, usando le tecniche di interpolazione. Nella pratica si applicano le formule di quadratura in forma composta (integrazione in sottointervalli).

Si pone

$I_{n}(f)=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})*l_{i}(x)$

$=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\int _{a}^{b}L_{i}(x)\,dx$

dove l'integrale è il peso $w_{i}$ definito nella formula di quadratura $\ast$.

Esistono due possibilità:

1. $x_{i}$ sono nodi equispaziati (formule di Newton-Cove),
2. $x_{i}$ sono nodi corrispondenti agli zeri di polinomi ortogonali (formule gaussiane).