Calcolo numerico/Operazioni aritmetiche con il calcolatore

Non è detto che i risultati delle operazioni tra numeri macchina siano ancora dei numeri macchina. Ci sono dei bit di guardia che permettono di rappresentare l'operazione in maniera quasi esatta, e poi si converte il risultato in numero macchina.

Somma

Per eseguire la somma algebrica $x\pm y$:

1. rappresentiamo $x$ e $y$ con i loro floating, cioè $\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y)$,
2. dopo aver sommato facciamo il floating del risultato

cioè

$x\pm y=\mathrm {fl} (\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y))$

L'errore relativo ${\frac {\mathrm {fl} (x)-x}{x}}=\varepsilon$, e si pone $\mathrm {fl} (x)=x(1+\varepsilon )$. $\varepsilon$ non un infinitesimo.

$\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y)=x(1+\varepsilon _{x})+y(1+\varepsilon _{y})=\mathrm {fl} (\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y))=(1+\varepsilon _{s})(x(1+\varepsilon _{x})+y(1+\varepsilon _{y}))$

Al primo ordine, si ha

$=x(1+\varepsilon _{x})\pm y(1+\varepsilon _{y})+(x\pm y)\varepsilon _{s}$

$=(x\pm y)+x\varepsilon _{x}+y\varepsilon _{y}+(x\pm y)\varepsilon _{s}$

Considerando l'errore relativo al primo ordine:

$E_{r}=|{\frac {\mathrm {fl} (x\pm y)-(x\pm y)}{x\pm y}}|=^{\circ }{\frac {|(x\pm y)+x\varepsilon _{x}+y\varepsilon _{y}+(x+y)\varepsilon _{s}-(x\pm y)|}{x\pm y}}$

$=^{\circ }{\frac {x\varepsilon _{x}+y\varepsilon _{y}+(x+y)\varepsilon _{s}|}{x\pm y}}$

$=|{\frac {x}{x\pm y}}*\varepsilon _{x}\pm {\frac {y}{x\pm y}}\varepsilon _{y}+\varepsilon _{s}|$

$\leq |{\frac {x}{x\pm y}}|*|\varepsilon _{x}|\pm |{\frac {y}{x\pm y}}|*|\varepsilon _{y}|+|\varepsilon _{s}|$

e in base al teorema sulla round of unit

$\leq u*({\frac {|x|}{|x\pm y|}}+{\frac {|y|}{|x\pm y|}}+1)$

Distinguiamo due casi.

1. Se i due numeri hanno segno concorde, allora $x/|x+y|$ e $y/|x+y|$ sono frazioni proprie, e sono minori o uguali ad 1. Allora l'errore relativo è maggiorato al primo ordine da $3u=3*2^{-52}$. L'operazione è "stabile", e non dipende dai dati.
2. Nel caso di segno discorde, l'errore dipende dai dati, e non è sempre "stabile", perché può capitare il fenomeno della cancellazione numerica.

Esempio 1.6

Supponiamo ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}(10,5,-6,6)$. Consideriamo

$x=0.123456,\,y=-0.123454$

$\mathrm {fl} (x)=0.12346*10^{0}\,{\hbox{per eccesso}}$

$\mathrm {fl} (y)=-0.12345*10^{0}\,{\hbox{tper difetto}}$

In aritmetica esatta

$x+y=0.2*10^{-5}$

Per il calcolatore

$\mathrm {fl} (x)+\mathrm {fl} (y)=0.1*10^{-4}\in {\mathcal {F}}$

Non c'è nessuna cifra esatta.

$e_{A}=0.8*10^{-5},\,e_{r}=4,\,e_{p}=400\%$

La somma è fra due numeri quasi uguali in valore assoluto e con segno opposto: si ha un errore molto elevato dovuto all'approssimazione. Questo fenomeno viene chiamato cancellazione numerica.

L'errore relativo totale è fatto al primo ordine da tre termini:

1. $\varepsilon _{s}$, errore locale generato nell'operazione;
2. errore relativo al dato $x$ moltiplicato per un coefficiente $c_{x}$, ed è ${\frac {x}{x\pm y}}$;
3. errore relativo al dato $y$, moltiplicato per $c_{y}$

Allora $\varepsilon _{x},\varepsilon _{y}$ danno l'errore di rappresentazione sui dati, mentre $c_{x},c_{y}$, detti coefficienti di amplificazione.

L'errore totale al primo ordine è

$\varepsilon _{s}+c_{x}*\varepsilon _{x}+c_{y}*\varepsilon _{y}$

(coefficiente lungo il ramo moltiplicato per errore)

Esercizio 1.1

Se l'operazione si scrive come $f(x,y)$ allora

$c_{x}={\frac {x}{f(x,y)}}*{\frac {\partial f}{\partial x}}$

$c_{y}={\frac {y}{f(x,y)}}*{\frac {\partial f}{\partial y}}$

Verificare che questo è vero per i risultati ottenuti per la somma, e dimostrarlo nel caso di moltiplicazione e divisione.

Nel caso della somma:

${\begin{aligned}f(x,y)&=x+y\\{\frac {\partial f}{\partial x}}=1\\{\frac {\partial f}{\partial y}}=1\\\longrightarrow c_{x}&={\frac {|x|}{|x+y|}}*1\\\longrightarrow c_{y}&={\frac {|y|}{|x\pm y|}}\end{aligned}}$

quindi

$E_{r}={\frac {x}{|x\pm y|}}*\varepsilon _{x}+{\frac {y}{|x\pm y|}}*\varepsilon _{y}+\varepsilon _{s}\quad {\hbox{coincide con l'espressione ottenuta}}$

Nel caso della moltiplicazione ricavo il risultato con i due procedimenti:

Procedimento 1: $x*y$ viene eseguita dal calcolatore come

$\mathrm {fl} (\mathrm {fl} (x)*\mathrm {fl} (y))$

e considerando che $\mathrm {fl} (x)=x(1+\varepsilon _{x})$ e $\mathrm {fl} (y)=y*(1-\varepsilon _{y})$ otteniamo:

$=\mathrm {fl} (x(1+\varepsilon _{x})*y*(1+\varepsilon _{y}))$

$=(1+\varepsilon _{m})[xy(1+\varepsilon _{x})(1+\varepsilon _{y})]$

e al primo ordine otteniamo:

$=xy+xy\varepsilon _{x}+xy\varepsilon _{y}+xy\varepsilon _{m}$

e l'errore relativo è:

$E_{r}={\frac {|\mathrm {fl} (xy)-xy|}{|xy|}}=$

$=^{\circ }{\frac {xy+xy\varepsilon _{x}+xy\varepsilon _{y}+xy\varepsilon _{m}-xy}{|xy|}}$

$=^{\circ }{\frac {xy\varepsilon _{x}+xy\varepsilon _{y}+xy\varepsilon _{m}}{|xy|}}$

$=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{m}$

Procedimento 2:

${\begin{aligned}f(x,y)&=xy\\{\frac {\partial f}{\partial x}}&=y\\{\frac {\partial f}{\partial y}}&=x\\\longrightarrow c_{x}&={\frac {x}{|xy|}}*y=1\\\longrightarrow c_{y}&={\frac {y}{|xy|}}*x=1\end{aligned}}$

quindi

$E_{r}=c_{x}\varepsilon _{x}+c_{y}\varepsilon _{y}+\varepsilon _{m}$

$=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{m}$

Derivazione dei coefficienti di amplificazione

Vogliiamo calcolare $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$. Ipotizziamo che $f$ sia sufficientemente regolare, e che non ci sia errore nel calcolo del valore di $f$, ma solo nella rappresentazione dei dati.

Chiamiamo $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$, e ne consideriamo il floating, cioè $\mathrm {fl} (x)=(\mathrm {fl} (x_{1}),\dots ,\mathrm {fl} (x_{n}))$.

$E_{r}={\frac {f(\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$

Caso 1: $n=1$

$E_{r}={\frac {f(x)+f'(x)*(\mathrm {fl} (x)-x)+o(\mathrm {fl} (x)-x)-f(x)}{f(x)}}$

Considerando ${\frac {f'(x)*(\mathrm {fl} (x)-x)}{x}}$, moltiplichiamo numeratore e denominatore per $v$:

${\frac {x*f'(x)*(\mathrm {fl} (x)-x)}{x*f(x)}}$

$={\frac {x*f'(x)}{f(x)}}*{\frac {\mathrm {fl} (x)-x}{x}}+{\frac {o(\mathrm {fl} (x)-x)}{f(x)}}$

$=(c_{x}*\varepsilon _{x})+o(\mathrm {fl} (x)-x)$

Caso 2: $n$ generico

$E_{r}={\frac {1}{f(x)}}[f(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)*(\mathrm {fl} (x_{i})-x_{i})+o(\vert \mathrm {fl} (x)-x\vert )-f(x)]$

$E_{r}=[\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{f(x}}*{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)]*{\frac {\mathrm {fl} (x_{i})-x_{i}}{x_{i}}}+{\frac {o(\vert \mathrm {fl} (x)-x\vert )}{f(x)}}$

$=\sum _{i}c_{x_{i}}\varepsilon _{x_{i}}+o(\mathrm {fl} (x)-x)$

Divisione

$x/y={\frac {x(1+\varepsilon _{x})}{y(1+\varepsilon _{y})}}$

$(1+\varepsilon _{d}){\frac {x(1+\varepsilon _{x})}{y(1+\varepsilon _{y})}}$

$=x/y*{\frac {(1+\varepsilon _{x})(1+\varepsilon _{d})}{1+\varepsilon _{y}}}$

Sappiamo che

${\frac {1}{1+\varepsilon _{y}}}\circ 1-\varepsilon _{y}$

Quindi

$={\frac {x}{y}}(1+\varepsilon _{x})(1-\varepsilon _{y})(1+\varepsilon _{d})$

$=x/y*(1+\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d})$

Considerando l'errore relativo:

${\frac {|x/y|*(1+\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d})-|x/y|}{x/y}}$

$1+\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d}-1$

$=\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d}\leq |\varepsilon _{x}|+|\varepsilon _{y}|+|\varepsilon _{d}|\leq 3u$

e si ottiene lo stesso risultato della moltiplicazione, cioè l'operazione di divisione non dipende dai dati.

$E_{r}=|c_{x}|*\varepsilon _{x}+|c_{y}|*\varepsilon _{y}+\varepsilon _{d}$

e ancora $c_{x}={\frac {x*1/y}{x/y}}=1,\,c_{y}={\frac {-x/y^{2}*y}{x/y}}=-1$.