Calcolo numerico/Problemi di Cauchy

Descrizione del problema

Si vuole trovare una soluzione del problema di Cauchy

${\begin{cases}y'(t)=f(t,y)\\y(t_{0})=y_{0}\end{cases}}$

con $f\colon I_{0}\times S\subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$, $t_{0}\in I_{0},y_{0}\in S$.

Teorema 7.1

Supponiamo che sia $t_{0}\in J_{0}\subset I_{0}$, dove $J_{0}=U(t_{0})$, sia $y_{0}\in \S \subset S$, se $f\in C^{0}(J_{0}\times \S )$, ed esiste $L\in \mathbb {R} ^{+}$ tale che

$\vert f(t_{1},y_{1})-f(t_{2},y_{2})\vert \leq L\vert y_{1}-y_{2}\vert$

per ogni $(t_{i},y_{i})\in J_{0}\times \S$. Allora esiste unica la soluzione $Y\colon J_{0}\to \S$ e si ha dipendenza continua dai dati, cioè se chiamiamo $y_{s}(t)$ la soluzione del problema

${\begin{cases}y'(t)=f(t,y(t))\\y(t_{0})=s\end{cases}}$

segue che

$\vert y_{s_{1}}(t)-y_{s_{2}}(t)\vert \leq e^{L(t-t_{0})}\vert s_{1}-s_{2}\vert$

Inoltre si ha esistenza e unicità in grande della soluzione se $J_{0}=I_{0}$ e $\S =S$.

Riformulazione di problemi di ordine $n$

Un problema di Cauchy di ordine $n$ può essere ricondotto a un problema di Cauchy del primo ordine nel seguente modo. Dato un problema del tipo

${\begin{cases}y^{(n)}(t)=f(t,y,y',\dots ,y^{(n-1)})\\f^{(i)}(t_{0})=y_{0}^{i},\quad i=0,\dots ,n-1\end{cases}}$

introduciamo funzioni ausiliarie:

$z_{1}(t)=y(t),\,z_{2}(t)=y'(t),\,\dots ,z_{n}(t)=y^{(n-1)}(t)$

Possiamo ricondurci a risolvere il seguente sistema con un problema di Cauchy del primo ordine:

${\begin{cases}z_{1}'(t)=z_{2}\\z_{2}'(t)=z_{3}\\\ldots \\z_{n-1}'(t)=z_{n}\\z_{n}'(t)=y^{(n)}(t)=f(t,z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\end{cases}}$

Se $f$ è continua, il problema di Cauchy è equivalente all'equazione integrale

$y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,d\tau$