Calcolo numerico/Rappresentazione floating dei numeri

Riepilogo

${\mathcal {F}}(\beta ,t,L,U)$ è definito come $\{x=(\mathrm {sgn} x.\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{t})\beta ^{p},\,0\leq \alpha _{t}\leq \beta -1,\alpha _{1}\neq 0,L\leq p\leq U\}$ Matlab di default lavora con la doppia precisione.

Rappresentando i numeri macchina sulla retta reale, esistono $m$ (barriera di underflow) e $M$ (barriera di overflow) tali che al di fuori di $(m,M)$ i numeri non siano rappresentabili. All'aumentare dei numeri, i numeri si diradano. Lo spacing nell'intervallo $(\beta ^{p},\beta ^{p+1})$ è $\beta ^{p+1-t}$.

Floating di un numero

Definizione

Supponiamo di avere $x\in \mathbb {R}$ tale che

$x=(\mathrm {sgn} x.\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{t})$

Chiamiamo floating di $x$, $\mathrm {fl} (x)$ il numero in ${\mathcal {F}}(\beta ,t,L,U)$ che associo a $v$, cioè il numero sul calcolatore con cui vogliamo rappresentarlo.

Ci sono varie possibilità:

1. se $p\not \in (L,U)$, e in particolare se $p<L$, si ha $\mathrm {fl} (x)=0$ (numero troppo piccolo per essere rappresentato);
2. se invece $p>U$, allora non viene rappresentato, ci troviamo nella bariera di overflow e viene dato un messaggio d'errore;
3. quando $L<p<U$, e $x$ ha più cifre di mantissa di quelle che abbiamo a disposizione, allora rappresento $\mathrm {fl} (x)=\mathrm {sgn} x(\alpha _{1}\alpha _{t-1}\alpha _{\bar {t}})\beta ^{p}$ dove $\alpha _{\bar {t}}$ viene determinata in base al procedimento del rounding.

Procedura del rounding

Nel caso $L<p<U$, il calcolatore applica la procedura del rounding:

1. se $\alpha _{t+1}<\beta /2$, si ha $\alpha _{\bar {t}}=\alpha _{t}$ (rounding per difetto);
2. se $\alpha _{t+1}>\beta /2$, si ha $\alpha _{\bar {t}}=\alpha _{t}+1$ (rounding per eccesso);
3. se $\alpha _{t+1}=\beta /2$, e $\alpha _{k}=0\,\forall k>t+1$ si applica il rounding to even, cioè si pone $\alpha _{\bar {t}}=\alpha _{t}$ se $\alpha _{t}$ è pari, altrimenti $\alpha _{\bar {t}}=\alpha _{t}+1$. Il numero da rappresentare ha distanza uguale dai due estremi.

Esempio 1.3

Supponiamo di avere ${\mathcal {F}}(10,2,-1,1)$. Scrivere il floating dei seguenti numeri:

1. $x_{1}=5.23=0.523*10^{1}\,{\hbox{tre cifre di mantissa}}$

$a_{t+1}=3<10/2$

$\mathrm {fl} (x_{1})=0.52*10^{1}\,{\hbox{rounding per difetto}}$

2. $x_{2}=5.27=0.527*10^{1}$

$a_{t+1}=7>10/2$

$\mathrm {fl} (x_{2})=0.53*10^{1}\,{\hbox{rounding per effetto}}$

3. $x_{3}=5.25=0.525*10^{1}$

$a_{t+1}=5,\,a_{t+n}=0$

$\mathrm {fl} (x_{3})=0,52\,{\hbox{rounding to even ''per difetto''}}$

4. $x_{4}=5.35=0.535*10^{1}$

$\mathrm {fl} (x_{4})=0.54*10^{1}\quad {\hbox{rounding to even ''per eccesso''}}$

5. $x_{5}=0.5253*10^{1}$

è spostato più a destra dell'intervallo, quindi si approssima per eccesso.

$\mathrm {fl} (x_{5})=0.53*10^{1}\,{\hbox{rappresentazione per eccesso}}$

Errore di rappresentazione

Dato un generico numero reale, lo si rappresenta sul calcolatore come $\mathrm {fl} (x)$, e ci si chiede di quanto è l'errore di rappresentazione.

Definizione

L'errore assoluto $E_{a}$ è uguale a $|\mathrm {fl} (x)-x|$. L'errore relativo $E_{r}$ è uguale a ${\frac {|\mathrm {fl} (x)-x|}{|x|}}$, con $x\neq 0$. Viene chiamato errore percentuale $E_{p}=E_{r}*100$.

Esempio 1.4

Consideriamo

$\alpha =0.1000$

${\bar {\alpha }}=0.1001$

(differiscono sulla quarta cifra decimale)

$E_{a}=|{\bar {\alpha }}-\alpha |=0.1*10^{-4}$

$e_{r}={\frac {10^{-4}}{10^{-1}}}=10^{-3}$

$e_{p}=10^{-1}=0.1\%$

Consideriamo poi

$\alpha =1000,\,{\bar {\alpha }}=1001$

$E_{a}=\alpha -{\bar {\alpha }}=1$

(l'errore assoluto differisce molto da quello precedente)

$e_{r}=1/10^{3}=10^{-3}$

(l'errore relativo è uguale a prima).

L'errore assoluto valuta il numero e l'ordine di grandezza. L'errore relativo non considera l'ordine di grandezza dei numeri confrontati.

Teorema 1.2

Supponiamo di essere nell'intervallo $(\beta ^{p-1},\beta ^{p})$, dove lo spacing è di $\beta ^{p-t}$; consideriamo $x\in \mathbb {R}$, di cui bisogna fare il floating. Allora valgono le due seguenti affermazioni:

1. $E_{a}\leq 1/2\beta ^{p-t}$ (l'errore assoluto ($x-\mathrm {fl} (x)$) è minore di metà dello spacing)
2. $E_{r}<1/2\beta ^{1-t}=u$ (l'errore relativo è strettamente minore della round of unit).

Dal teorema emerge che l'errore assoluto dipende anche dall'ordine di grandezza del numero ($p$), e aumenta in corrispondenza della grandezza del numero. L'errore relativo dipende solo dal numero di cifre di mantissa ($t$).

Dimostrazione (Secondo punto)

Dimostriamo il punto 2.

$|x|=(.\alpha _{1}\alpha _{2}\dots \alpha _{t})\beta ^{p}.$

$\alpha _{1}\geq 1$, allora

$|x|>(0.1)*\beta ^{p}=\beta ^{p-1}$

${\frac {1}{|x|}}<\beta ^{1-p}$

$E_{r}={\frac {|\mathrm {fl} (x)-x|}{|x|}}\leq \beta ^{1-p}*|\mathrm {fl} (x)-x|$

e siccome $|\mathrm {fl} (x)-x|=E_{a}\leq 1/2\beta ^{p-t}$ allora proseguendo con le disuguaglianze:

$E_{r}\leq \beta ^{1-p}*|\mathrm {fl} (x)-x|\leq 1/2\beta ^{1-p}\beta ^{p-t}\leq 1/2\beta ^{1-t}\quad {\hbox{disuguaglianza}}\ast$

Per poter dimostrare la disuguaglianza stretta (primo punto del teorema), notiamo la seguente osservazione:

Osservazione 1.2

Supponiamo di essere in base 2 con la doppia precisione, l'errore relativo che commettiamo rappresentando un numero con il suo floating è di $2^{-52}$.

Dimostrazione (Primo punto)

Nella disuguaglianza $\ast$ vale l'uguale nel caso in cui $E_{a}=1/2\beta ^{p-t}$ (errore assoluto pari a metà dello spacing). Allora $\alpha _{t+1}=\beta /2$, e tutte le cifre successive $\alpha _{t+2},\alpha _{t+3}\dots$ sono nulle. Approssimiamo $x$ al pari più vicino (rounding to even).

$|x|=(.\alpha _{1}\alpha _{2}\beta /2000)\beta ^{p}$

dove $\beta /2=\alpha _{t+1}$, ma allora $\alpha _{1}\neq 0$, quindi

$x\geq (0.\alpha _{1}00\beta /200)\beta ^{p}$

allora questo numero è strettamente maggiore di $(0.\alpha _{1}000)\beta ^{p}>\beta ^{p-1}$, quindi la prima disuguaglianza nella catena sopra è stretta.

L'errore di rappresentazione in aritmetica floating-point è sempre più piccolo della round of unit.

cvd

Definizione 1.4

Supponiamo che ${\bar {x}}$ approssima il numero $x$ con $E_{r}<\beta ^{1-t}$, allora si dice che $t$ cifre della rappresentazione di ${\bar {x}}$ sono esatte.

Se ${\bar {x}}\in {\mathcal {F}}$ approssima $x$ in modo tale che le prime $t$ cifre coincidono, allora $E_{r}<\beta ^{1-t}$. Non vale viceversa: non è vero che se l'errore è più piccolo della quantità $\beta ^{1-t}$, allora le prime $t$ cifre coincidono.

Esempio 1.5

Consideriamo ${\mathcal {F}}={\mathcal {F}}(10,5,L,U)$

$x=0.999995$

Siamo nel caso del rounding to even.

$\mathrm {fl} (x)=0.1*10^{1}$