Calcolo numerico/Teoria dell'errore nella sua generalità

Calcolo del valore di una funzione

Le funzioni effettivamente calcolabili sono le funzioni razionali, cioè quelle che sono date da un numero finito di operazioni $+,-,*,/$. Le funzioni non razionali vengono approssimate in qualche modo con funzioni razionali. È data una funzione $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, e vogliamo calcolarne il valore in $v$.

Il calcolo che effettuo con il calcolatore è affetto da vari tipi di errore.

Errore inerente

è l'errore generato dall'errore di rappresentazione sui dati. È connesso al condizionamento ed è una caratteristica della funzione da calcolare.

Errore algoritmico

è generato dall'errore commesso nelle operazioni in aritmetica floating point. È combinazione lineare degli errori locali delle singole operazioni. È connesso alla stabilità

Errore analitico o di approssimazione

è l'errore generato dall'approssimazione di $f$ non razionale con un'opportuna funzione razionale. È connesso alla convergenza.

Funzioni razionali

Chiamiamo $x$ il valore in cui vogliamo calcolare la funzione, di cui consideriamo il floating $\mathrm {fl} (x)$, $\psi$ è la funzione effettivamente calcolata. Valore da calcolare: $f(x)$, valore effettivamente calcolato: $\psi (\mathrm {fl} (x))$.

Supponiamo di avere $x\neq 0$, e $f$ funzione razionale tale che $f(x)\neq 0$ e $f(\mathrm {fl} (x))\neq 0$. Vogliamo frammentare l'errore (relativo) totale ${\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$ in diversi tipi di errori:

1. errore inerente: $e_{in}={\frac {f(\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$. Si assume che $f$ sia calcolata esattamente, e si considera solo l'errore dipendente dalla rappresentazione dei dati.
2. errore algoritmico: misura l'errore generato dall'uso di $\psi$ al posto di $f$, calcolate nel floating di $v$. La sua espressione è $e_{alg}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}$

Vale il seguente teorema.

Teorema 1.3

L'errore totale è uguale a $e_{alg}(1+e_{in})+e_{in}$, e al primo ordine è uguale a $e_{alg}+e_{in}$. Inoltre

$e_{in}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\varepsilon _{x_{i}},\quad ,\,c_{i}={\frac {x_{i}}{f(x)}}*{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$

con

$|\varepsilon _{x_{i}}|<u$

Dimostrazione

$E_{r}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$

$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$

$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {f(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$

$=(E_{alg}+1)*(e_{in}+1)-1$

$e_{alg}+e_{in}+e_{alg}e_{in}+1-1$

$=e_{alg}(1+e_{in})+e_{in}$

cvd

Caso generale funzione non razionale

Supponiamo di avere $x\neq 0$, una funzione $f$ non razionale che viene approssimata con una funzione $g$ razionale, e $\psi (\mathrm {fl} (x))$ è la funzione effettivamente calcolata.

$E_{r}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$

si frammenta in:

1. errore analitico: dipende dal fatto di usare $g$ al posto di $f$, e ha espressione $e_{an}={\frac {g(x)-f(x)}{f(x)}}$
2. errore inerente: $e_{in}={\frac {f(\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$
3. errore algoritmico: $E_{alg}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-g(\mathrm {fl} (x))}{g(\mathrm {fl} (x))}}$

Teorema 1.4

L'errore totale al primo ordine è dato da

$e_{in}+e_{alg}+e_{an,\mathrm {fl} (x)}$

con $e_{an,\mathrm {fl} (x)}={\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}$

Dimostrazione

$e_{r}={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))-f(x)}{f(x)}}$

$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$

$={\frac {\psi (\mathrm {fl} (x))}{g(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$

$=(e_{alg}+1){\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}-1$

$=(e_{alg}+1)[{\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}*{\frac {f(\mathrm {fl} (x))}{f(x)}}]-1$

$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1){\frac {g(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}-1$

$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1){\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))+f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}-1$

$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)[{\frac {g(\mathrm {fl} (x))-f(\mathrm {fl} (x))}{f(\mathrm {fl} (x))}}+1]-1$

$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)(e_{an,\mathrm {fl} (x)}+1)-1$

Al primo ordine

$e_{alg}+e_{in}+e_{an,\mathrm {fl} (x)}$

cvd

Se $e_{an,x}$ e $e_{an,\mathrm {fl} (x)}$ differiscono di un termine del secondo ordine, allora vale il risultato con il vero errore analitico.