Elaborazione numerica dei segnali/Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta

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Indice del libro

Un sistema LTI può essere descritto usando la trasformata zeta:

Interconnessione di sistemi LTI
Serie Series block diagram interconnection (discrete-time).png
Parallelo Parallel block diagram interconnection (discrete-time).png
Con reazione Feedback block diagram interconnection (discrete-time).png

La regione di convergenza della trasformata coincide con l'intersezione tra le regioni di convergenza delle funzioni e (la cancellazione di poli e/o zeri estenderà la regione).

Filtri digitali[modifica]

Un filtro[1] digitale è un sistema LTI causale e scarico:

Filtri FIR non ricorsivi[modifica]

Un sistema LTI causale con risposta all'impulso a supporto finito può essere descritto:

Vantaggi dei filtri FIR
  • Sono sempre stabili perché la funzione di trasferimento:

possiede solo zeri e un polo multiplo nell'origine (quindi entro il cerchio di raggio unitario).

  • Possono essere progettati in modo da avere fase lineare.

Filtri IIR puramente ricorsivi[modifica]

Un sistema LTI causale puramente ricorsivo può essere descritto:

Vantaggio dei filtri IIR

Generalmente soddisfano le specifiche di progetto con il minor numero possibile di coefficienti.

Sistemi LTI non scarichi[modifica]

Se le condizioni iniziali non sono nulle, bisogna considerare anche i campioni di e presi in valori negativi (da a , con ):

Stabilità di sistemi LTI[modifica]

Sistemi LTI causali[modifica]

Un sistema LTI causale è BIBO-stabile se la sua risposta all'impulso :

è sommabile in modulo:

Un sistema LTI causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza appartengono al cerchio di raggio unitario.

Se un sistema LTI causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella sua regione di convergenza, che per i sistemi causali si estende all'esterno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI anti-causali[modifica]

Un sistema LTI anti-causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza non appartengono al cerchio di raggio unitario.

Se un sistema LTI anti-causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi anti-causali si estende all'interno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI bilateri[modifica]

Se un sistema LTI bilatero è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi bilateri è un anello circolare.

Realizzabilità fisica di sistemi LTI causali[modifica]

Un sistema LTI causale[2] è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso è reale, ossia ogni coefficiente e della sua risposta in frequenza :

è reale o è accoppiato con il suo complesso coniugato.[3]

Sistemi inversi[modifica]

Molto spesso nelle applicazioni pratiche è richiesta l'implementazione di un sistema LTI, chiamato sistema inverso, che inverta le caratteristiche di un altro sistema caratterizzato dalla trasformata :

Ad esempio, nella trasmissione di dati attraverso il canale telefonico, al terminale di ricezione è necessario eliminare la distorsione del canale applicando al segnale un sistema inverso a quello del canale.

La cascata di un sistema con il suo inverso è chiamato sistema identità:

Se ha forma razionale:

la risposta in frequenza del sistema inverso vale:

Se il sistema inverso è causale, gli zeri del sistema originario sono all'esterno della sua regione di convergenza. Se il sistema inverso è anche stabile, gli zeri del sistema originario sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

Quindi un sistema LTI causale e stabile ammette un sistema inverso causale e stabile se anche i suoi zeri sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

Note[modifica]

  1. Un filtro è un sistema che seleziona una certa banda di frequenze di un segnale.
  2. Si suppone scarico.
  3. Infatti: