Elaborazione numerica dei segnali/Segnali a tempo discreto

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Indice del libro

L'elaborazione numerica dei segnali (ENS) è l'applicazione di un algoritmo ad una serie di numeri che rappresenta un segnale.

Un segnale è a tempo discreto se è definito rispetto a una variabile indipendente che assume solo valori interi (). Per semplicità si parla di come la sequenza . Il segnale è detto numerico o digitale se assume solo ampiezze discrete.

Classificazione[modifica]

Durata di una sequenza[modifica]

Una sequenza può avere:

  • durata finita: la sequenza è identicamente nulla all'esterno di un intervallo finito di tempo ;
  • durata infinita: il supporto temporale può essere bilatero () o monolatero ( o ).

Causalità[modifica]

Una sequenza è:

  • casuale se è identicamente nulla per valori di n minori di 0;
  • anticasuale se è identicamente nulla per valori di n maggiori o uguali di 0.

Parità[modifica]

Una sequenza reale è detta:

  • pari se ;
  • dispari se .

Una sequenza complessa è detta:

  • coniugata simmetrica se ;
  • coniugata antisimmetrica se .

Una qualunque sequenza complessa può essere scritta come somma di una sequenza coniugata simmetrica e di una sequenza coniugata antisimmetrica :

dove:

Periodicità[modifica]

Una sequenza è periodica se è possibile trovare un intervallo di tempo per cui vale la relazione:

Il periodo è il più piccolo valore intero positivo di per cui la sequenza è periodica.

Sequenze limitate in ampiezza[modifica]

Una sequenza è limitata se per qualunque istante di tempo discreto assume valori contenuti entro un intervallo finito (costante reale finita positiva):

Sequenze sommabili[modifica]

Una sequenza è assolutamente sommabile se:

Una sequenza è quadraticamente sommabile se:

Sequenze elementari[modifica]

Sequenza gradino unitario[modifica]

Unit step sequence.pdf

Delta di Kronecker (impulso unitario)[modifica]

Delta di Kroenecher.pdf

Qualsiasi segnale può essere espresso come somma di impulsi:

Relazione tra delta numerica e gradino unitario

Sequenza rampa[modifica]

Ramp sequence.pdf

Sequenza sinc[modifica]

Sinc sequence.pdf

Interseca l'asse orizzontale in , , ecc.

Se , la sequenza coincide con la delta di Kronecker.

Sequenza triangolo[modifica]

Triangle sequence.pdf

Sequenza esponenziale[modifica]

Exponential sequence.pdf

Se è complesso:

Sinusoidi a tempo discreto[modifica]

Proprietà 1

Sinusoidi che differiscono per un numero intero di angoli giro sono indistinguibili nel dominio del tempo discreto:

Proprietà 2

La frequenza delle oscillazioni di una sinusoide a tempo discreto:

  • : aumenta all'aumentare di ;
  • : diminuisce all'aumentare di .
Proprietà 3

Una sinusoide è periodica se il prodotto è un numero intero:

Una sinusoide discreta perciò non necessariamente è periodica di periodo . Se non è un numero razionale, la sinusoide non è periodica ( dev'essere intero).

Operazioni elementari[modifica]

Somma e prodotto[modifica]

Le operazioni di somma e prodotto si applicano tra coppie di campioni osservati nei medesimi istanti di tempo.

Traslazione e ribaltamento[modifica]

Traslazione

La traslazione consiste nel campio di variabile , dove è pari al numero di campioni per cui il segnale è ritardato o anticipato:

Ribaltamento

Il ribaltamento consiste nel cambio di variabile e realizza l'inversione dell'asse dei tempi:

L'operazione di traslazione ha la precedenza su quella di ribaltamento:

Scalamento temporale[modifica]

Sottocampionamento

L'operazione di sottocampionamento corrisponde a costruire la sequenza prendendo un campione ogni della sequenza :

Corrisponde all'operazione di compressione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è downsample.

Sovracampionamento

L'operazione di sovracampionamento corrisponde a costruire la sequenza inserendo zeri tra ogni campione della sequenza :

Corrisponde all'operazione di dilatazione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è upsample.

Convoluzione lineare[modifica]

La convoluzione lineare tra due sequenze discrete e è definita:

Proprietà

Il supporto della convoluzione è pari alla somma dei singoli supporti meno 1.

  • commutativa:
  • distributiva:
  • associativa:

La funzione Matlab è conv.

Energia e potenza media[modifica]

Energia[modifica]

Per sequenze a energia finita, l'energia non dipende da traslazioni temporali di :

L'energia di un segnale analogico è approssimabile alla sua sequenza campionata a intervalli molto piccoli:

Potenza media[modifica]

Per sequenze a energia infinita è possibile definire la potenza media:

  • Le sequenze a energia finita hanno potenza media nulla.
  • Le sequenze a potenza media finita (e non nulla) hanno energia infinita.
Esempio

La sequenza gradino unitario ha energia infinita ma potenza media finita:

La potenza media di un segnale periodico è pari alla potenza media calcolata in un suo periodo. La potenza media di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo:

La potenza di un segnale analogico è approssimabile alla sua sequenza campionata a intervalli molto piccoli:

Inoltre, se il segnale è periodico:

Funzioni di correlazione[modifica]

Mutua correlazione Autocorrelazione
Sequenze a potenza finita
Sequenze periodiche
Proprietà se la sequenza è reale:

Esempio: segnale radar[modifica]

La funzione di mutua correlazione può essere usata per ricavare informazioni sul grado di similarità tra due sequenze a energia finita.

L'eco di un segnale radar è del tipo:

  • è l'attenuazione del segnale;
  • è il ritardo del segnale;
  • è il rumore.

La funzione di mutua correlazione ha un picco in → sapendo il ritardo è possibile calcolare la distanza dell'oggetto: .