Elaborazione numerica dei segnali/Sistemi LTI a tempo discreto

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Indice del libro

Classificazione dei sistemi a tempo discreto[modifica]

Un sistema per i segnali a tempo discreto è definito tramite la sua relazione ingresso-uscita:

Sistemi lineari[modifica]

Un sistema è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti:

Sistemi tempo-invarianti o stazionari[modifica]

Un sistema è tempo-invariante (o stazionario) se un ritardo/anticipo sull'ingresso si traduce in un ritardo/anticipo uguale sull'uscita senza che cambi la forma del segnale di uscita :

Sistemi passivi[modifica]

Un sistema è passivo se a un ingresso con energia finita corrisponde un segnale con energia minore o uguale all'energia dell'ingresso:

Il sistema è senza perdite se la relazione vale con il segno di uguaglianza: tutta l'energia dell'ingresso viene conservata:

Sistemi causali[modifica]

Un sistema è causale se l'uscita non dipende dai valori futuri dell'ingresso , ma solo da quelli passati e da quello corrente.

Il comportamento di sistemi LTI causali a tempo discreto può essere descritto da un'equazione alle differenze finite e coefficienti costanti, che esprime l'uscita all'istante corrente come combinazione lineare degli ingressi agli istanti passati e a quello corrente e delle uscite agli istanti passati (di solito ):

  • Il sistema è ricorsivo se l'uscita dipende da almeno un valore dell'uscita in istanti precedenti.
  • Il sistema è non ricorsivo se tutti i coefficienti sono nulli.

L'equazione alle differenze di un sistema causale permette di trovare i valori di per , noti i valori di e le condizioni iniziali :

Risposta forzata[modifica]

è detta risposta allo stato nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con condizioni iniziali nulle, tenendo conto solo degli ingressi:

Trascurare le condizioni iniziali significa studiare il comportamento del sistema a regime (sistema scarico).

Risposta libera[modifica]

è detta risposta all'ingresso nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con ingresso nullo, ma tenendo conto delle condizioni iniziali:

Per sistemi LTI stabili, è anche detta risposta al transitorio perché siccome l'ingresso è nullo tende a smorzarsi nel tempo fino ad annullarsi.

Sistemi senza memoria[modifica]

Un sistema è senza memoria se l'uscita dipende solo dal valore corrente dell'ingresso .

Il sistema non ricorsivo:

ha memoria pari a , perché l'uscita dipende anche da valori passati dell'ingresso .

Sistemi LTI[modifica]

Risposta all'impulso[modifica]

I sistemi LTI causali scarichi sono caratterizzati da una risposta all'impulso , che è la risposta del sistema quando in ingresso è presente la sequenza :

La risposta all'impulso lega l'ingresso e l'uscita del sistema:

Tutti i sistemi LTI possono essere quindi espressi in forma non ricorsiva, dove .

L'uscita del sistema dipende dai contributi causale () e anticausale ():

Siccome il sistema è causale, la parte anticausale è nulla:

Risposta in frequenza[modifica]

Ipotesi
  • e sono trasformabili mediante DTFT;
  • si trascura la risposta al transitorio .

La DTFT del segnale in uscita è pari al prodotto delle DTFT del segnale in ingresso e della risposta all'impulso del sistema LTI:

La DTFT della risposta all'impulso è detta risposta in frequenza del sistema LTI:

Interconnessione di sistemi LTI
Serie Series block diagram interconnection (discrete-time).png
Parallelo Parallel block diagram interconnection (discrete-time).png
Con reazione Feedback block diagram interconnection (discrete-time).png

Risposta a esponenziali complessi[modifica]

Gli esponenziali complessi sono delle autofunzioni dei sistemi LTI, perché a un ingresso a esponenziale complesso corrisponde ancora un'uscita a esponenziale complesso:

Se la risposta all'impulso è reale, e la sinusoide è reale:

Sistemi IIR[modifica]

L'uscita di un sistema IIR dipende non solo dal segnale in ingresso , ma anche dai campioni del segnale in uscita :

La risposta in frequenza del sistema si può scrivere:

Sistemi IIR puramente ricorsivi[modifica]

Un sistema IIR è puramente ricorsivo se:

La risposta all'impulso di un sistema IIR puramente ricorsivo è a supporto illimitato.

Esempio: risposta all'impulso di un sistema IIR puramente ricorsivo

Sistemi FIR[modifica]

L'uscita di un sistema FIR dipende solo dal segnale d'ingresso :

La risposta all'impulso di un sistema FIR è a supporto finito :

Stabilità[modifica]

Un sistema è stabile secondo il criterio BIBO (o BIBO-stabile) se e solo se ad ogni ingresso di ampiezza limitata corrisponde un'uscita di ampiezza limitata:

La risposta al transitorio di un sistema BIBO-stabile tende a smorzarsi al crescere di .

Teorema

Un sistema LTI è BIBO-stabile se e solo se la sua risposta all'impulso è sommabile in modulo:

Realizzabilità fisica[modifica]

Un sistema LTI è fisicamente realizzabile se l'equazione alle differenze è causale e i coefficienti e della sua equazione alle differenze sono tutti reali:

Un sistema è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso è reale e causale:

La risposta in frequenza di un sistema fisicamente realizzabile è unilatera:

ed ha le seguenti relazioni di parità:

  • la parte reale e il modulo sono pari;
  • la parte immaginaria e la fase sono dispari.

Esempio: filtro passa-basso[modifica]

Si vogliono confrontare tre sistemi LTI che hanno risposte all'impulso , e :

dove:

La risposta in frequenza è pari a:

Si introduce come ingresso una porta:

Il filtro passa-basso smorza le alte frequenze. L'uscita appare più simile all'ingresso con il filtro :

L'ingresso risulta quindi meno smorzato con il filtro :

Questo sistema LTI è di tipo passivo perché l'energia dell'uscita è sempre minore dell'energia dell'ingresso .

Distorsione[modifica]

  • Se il modulo della risposta in frequenza non è costante, il sistema introduce una distorsione in ampiezza.
  • Se la fase della risposta in frequenza non è lineare in , il sistema introduce una distorsione di fase.

Si definisce ritardo di gruppo il ritardo medio subito dalle componenti armoniche del segnale in ingresso :

Sistema LTI non distorcente[modifica]

Si vuole realizzare un amplificatore non distorcente:

dove:

  • è il tempo impiegato dal segnale in ingresso per attraversare il sistema (ritardo);
  • è l'amplificazione.

La sua risposta in frequenza :

ha:

  • modulo costante;
  • rotazione di fase lineare in .

La sua risposta all'impulso :

è una delta di ampiezza centrata in .

Se il ritardo di gruppo è costante, cioè le componenti armoniche nel segnale di ingresso subiscono lo stesso ritardo costante, allora la fase è lineare e il sistema è non distorcente.

Analisi tramite DFT[modifica]

L'uscita di un sistema LTI si può ottenere dalla IDTFT del prodotto tra la DTFT dell'ingresso e la risposta in frequenza :

dove e sono i supporti rispettivamente di e .

Se si vuole sostituire la DTFT con la DFT, la IDFT non restituisce lo stesso risultato:

perché la convoluzione circolare ha un supporto diverso dalla convoluzione lineare.

Per far sì che il risultato coincida con la convoluzione lineare, occorre procedere all'inserimento di zeri (zero padding) nelle due sequenze e , in numero tale da garantire la lunghezza di una convoluzione lineare:

In questo modo la convoluzione circolare ottenuta dalla IDFT coincide con la convoluzione lineare, e quindi con l'uscita del sistema :

Se il supporto viene scelto come potenza di 2, si può impiegare la FFT per il calcolo delle 3 DFT, con complessità finale proporzionale a , invece della complessità dell'ordine di operazioni per il calcolo della convoluzione nel dominio del tempo.