Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata zeta

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Indice del libro
Vantaggio rispetto alla DTFT

La trasformata zeta converge in modo uniforme per una classe di segnali più vasta.

Utilità

La trasformata zeta trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche più semplici.

Definizione[modifica]

La trasformata zeta della sequenza è un polinomio nella variabile e con i campioni della sequenza per coefficienti:

dove è una variabile complessa di modulo e fase , che può assumere valori in tutto il piano complesso:

Relazione con la DTFT[modifica]

La DTFT è un caso particolare della trasformata zeta perché, nel piano complesso, percorre al variare di una circonferenza di raggio unitario:

Come nel dominio del tempo continuo la trasformata di Laplace è la generalizzazione della trasformata di Fourier, così nel dominio del tempo discreto la trasformata zeta è la generalizzazione della DTFT.

Relazione con la DFT[modifica]

A partire dai campioni della DFT di una sequenza a supporto limitato si può risalire alla sua trasformata zeta tramite interpolazione:

Analisi della regione di convergenza[modifica]

L'espressione della trasformata zeta è detta serie di Cauchy-Laurent. La regione di convergenza (ROC) della serie è il luogo dei punti per cui essa converge in modo uniforme. Nella regione di convergenza, la trasformata zeta è una funzione analitica, ossia continua e infinitamente derivabile con derivate continue.

La serie della trasformata zeta converge se e solo se la sequenza è assolutamente sommabile:

Le regioni di convergenza nel piano complesso sono delimitate da circonferenze (ossia luoghi dei punti a modulo costante), perché non dipendono dalla fase ma solo dal modulo .

Esempio
  • se converge su tutto il piano complesso:
  • se diverge per :
  • se diverge per :

Sequenze unilatere e sequenze bilatere[modifica]

La ricerca della regione di convergenza di equivale alla ricerca della regione in cui la serie risulta assolutamente sommabile:

  • la parte anti-causale converge all'interno della circonferenza avente un raggio sufficientemente piccolo;
  • la parte causale converge all'esterno di una circonferenza di raggio sufficientemente grande.
Sequenze unilatere anti-causali

La parte causale è nulla → la trasformata zeta converge all'interno della circonferenza di raggio :

Region of convergence 0.5 anticausal.svg
Sequenze unilatere causali

La parte anti-causale è nulla → la trasformata zeta converge all'esterno della circonferenza di raggio :

Region of convergence 0.5 causal.svg
Sequenze bilatere

Esistono sia la parte causale sia la parte anti-causale:

  • se , la trasformata zeta non converge (l'intersezione tra le due regioni è nulla);
  • se , la trasformata zeta converge nella corona circolare tra e :
Region of convergence 0.5 0.75 mixed-causal.svg

Regione di convergenza delle sequenze gradino[modifica]

Il gradino e il gradino anti-causale hanno la stessa trasformata zeta:

ma regioni di convergenza differenti:

  • il gradino converge all'esterno della circonferenza unitaria: ;
  • il gradino anti-causale converge all'interno della circonferenza unitaria: .

Regione di convergenza di sequenze a supporto finito[modifica]

La trasformata zeta di sequenze a supporto finito :

Sequenze unilatere causali ()

La trasformata zeta converge in qualunque punto del piano complesso eccetto l'origine (). La regione di convergenza è all'esterno di una circonferenza di raggio infinitesimo.

Sequenze unilatere anti-causali ()

La trasformata zeta converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'infinito (). La regione di convergenza è all'interno di una circonferenza di raggio infinito.

Sequenze bilatere

La trasformata zeta converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'origine e l'infinito.

Regione di convergenza di sequenze con trasformata zeta espressa come rapporto di polinomi[modifica]

Nella maggior parte dei casi la trasformata zeta è espressa come rapporto di polinomi:

  • le radici del numeratore sono gli zeri di ;
  • le radici del denominatore sono i poli di .
Sequenze unilatere causali

La trasformata zeta converge all'esterno della circonferenza che racchiude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'interno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più vicino all'origine. La circonferenza esiste sempre perché non possono esistere poli per .

Sequenze unilatere anti-causali

La trasformata zeta converge all'interno della circonferenza che esclude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'esterno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più distante dall'origine.

Sequenze bilatere

La trasformata zeta converge nella corona circolare tra la circonferenza del polo più distante e quella del polo più vicino.

Proprietà della trasformata zeta[modifica]

Proprietà della trasformata zeta
Sequenza Trasformata zeta Regione di convergenza
Linearità
Ritardo nel tempo
Anticipo nel tempo
Ribaltamento nel tempo
Coniugazione complessa
Scalamento nel dominio trasformato
Derivata nel dominio trasformato
Convoluzione nel tempo
Parte reale
Parte immaginaria
Sequenza cosinusoidale
Sequenza sinusoidale

Trasformata zeta unilatera[modifica]

La trasformata zeta unilatera è la trasformata della parte causale della sequenza :

Per le sequenze unilatere causali, la trasformata zeta coincide con la trasformata zeta unilatera .

Proprietà di traslazione nel tempo per trasformate zeta unilatere
Sequenza Trasformata zeta
Ritardo nel tempo
Anticipo nel tempo

Teorema del valore iniziale[modifica]

Se è una sequenza causale:

Trasformata zeta di sequenze elementari[modifica]

Sequenza Trasformata zeta Regione di convergenza Poli e zeri
  • : polo
  • : zero
  • : polo
  • : polo
  • : zero
  • : polo
  • : polo

Inversione della trasformata zeta[modifica]

L'antitrasformata zeta è definita attraverso un integrale di circuitazione:

dove è una curva di Jordan:

  • percorsa in senso antiorario;
  • appartenente alla regione di convergenza della trasformata zeta ;
  • comprendente l'origine;
  • comprendente poli della funzione .

Per il teorema dei residui, l'integrale di linea si può esprimere come somma dei residui dovuti agli poli: