Elettrodinamica classica/Acceleratori di particelle

In un acceleratore, delle particelle vengono soggette a campi elettromagnetici esterni, che le accelerano a velocità prossime a quelle della luce. Detto $F_{\mu \nu }$ il campo elettromagnetico esterno (tutti i campi che nomineremo in questo paragrafo saranno esterni), sappiamo che l'equazione di Lorentz per la particella è:

$\frac{d{P}^{\mu }}{ds}=e{F}^{\mu \nu }{u}_{\nu }$

e vale:

$w^{\mu }=\frac{1}{m}\frac{d{P}^{\mu }}{ds}=\frac{e}{m}\gamma (\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{E};\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$

La potenza emessa è pertanto:

$W=-\frac{e^2}{6\pi }{w}^{\nu }{w}_{\nu }=\frac{e^4}{6\pi m^2}\frac{1}{1-v^2}[|\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}{|}^2-(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{E}{)}^2]$

Per la presenza del termine ${\gamma }^2/(1-v^2)$, se $v\sim 1$ la potenza emessa dalla particella è enorme; in altre parole, la potenza emessa in regimi ultrarelativistici è molto maggiore di quella emessa nel caso non relativistico. In termini dell'energia della particella:

$W=\frac{e^4}{6\pi m^4}{ℰ}^2[|\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}{|}^2-(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{E}{)}^2]$

notiamo dunque che $W\propto 1/m^4$: a parità degli altri parametri, particelle leggere emettono molto più di quelle pesanti, e dunque ad esempio se vengono accelerati elettroni questi emetteranno moltissima energia. Consideriamo ora i due tipi di acceleratori di particelle: lineari e circolari.

Acceleratori lineari

In questo caso è sufficiente un campo elettrico per accelerare la particella, dunque $\overrightarrow{B}=0$ e $\overrightarrow{E}\parallel \overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{v}$. Si ha dunque:

$W=\frac{e^4}{6\pi m^2}\frac{1}{1-v^2}[|\overrightarrow{E}{|}^2-|\overrightarrow{v}{|}^2|\overrightarrow{E}{|}^2]=\frac{e^4}{6\pi m^2}\frac{1}{1-v^2}|\overrightarrow{E}{|}^2(1-v^2)\Rightarrow W=\frac{e^4}{6\pi m^2}|\overrightarrow{E}{|}^2$

Per capire se questa potenza emessa è rilevante o meno, valutiamo il suo rapporto con la potenza fornita dal campo elettrico, $W_{\text{ext}}=ev|\overrightarrow{E}|$:

$\frac{W}{W_{\text{ext}}}=\frac{e^4}{6\pi m^2}|\overrightarrow{E}{|}^2\frac{1}{ev|\overrightarrow{E}|}=\frac{e^3}{6\pi m^2}\frac{|\overrightarrow{E}|}{v}=\frac{2}{3}e\frac{r_0}{m}\frac{|\overrightarrow{E}|}{v}$

ove $r_0$ è il raggio classico della particella. Detta dunque $dℰ/dx$ l'energia fornita dal campo alla particella per unità di lunghezza:

$\frac{W}{W_{\text{ext}}}=\frac{2\pi }{3}\frac{r_0}{m}\frac{1}{v}\frac{dℰ}{dx}$

Pertanto, la potenza dissipata per irraggiamento diventa rilevante se il campo fornisce alla particella, per unità di lunghezza, tanta energia quanta $m/r_0$. Tipicamente, negli acceleratori si ha $dℰ/dx\sim 100$ MeV/m; nel caso in cui la particella sia un elettrone (che è il caso più sfavorevole possibile, proprio perché particelle leggere emettono moltissimo), $m\simeq 0.5$ MeV e $r_0\simeq 3\times 10^{-13}$ cm, dunque $W/W_{\text{ext}}\simeq 10^{-13}$. Pertanto, negli acceleratori lineari l'emissione di energia per irraggiamento è irrilevante.

Acceleratori circolari (o "sincrotroni")

In questo caso $\overrightarrow{B}\ne 0$; ci dovrebbe essere anche un campo elettrico, necessario proprio per accelerare la particella, ma consideriamo il caso in cui questo sia assente, ossia consideriamo la particella avente già altissima velocità. Se dunque $\overrightarrow{E}=0$ e $\overrightarrow{B}\perp \overrightarrow{v}$:

$W=\frac{e^4}{6\pi m^2}\frac{1}{1-v^2}|\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}{|}^2=\frac{e^4}{6\pi m^2}\frac{1}{1-v^2}{v}^2|\overrightarrow{B}{|}^2\Rightarrow W=\frac{e^4}{6\pi m^2}\frac{v^2}{1-v^2}|\overrightarrow{B}{|}^2$

Sappiamo che il moto relativistico di una particella in un campo magnetico è tale che la sua frequenza sia:

${\omega }_0=\frac{e|\overrightarrow{B}|}{m}\sqrt{1-v^2}=e\frac{|\overrightarrow{B}|}{ℰ}$

Conviene a questo punto esprimere $W$ in termini di ${\omega }_0$ invece che di $|\overrightarrow{B}|$; dunque:

$W=\frac{e^2}{6\pi }\frac{v^2}{(1-v^2{)}^2}{\omega }_0^2$

Se ora $R$ è il raggio della circonferenza percorsa dalla particella, poiché $v={\omega }_{0}R$ allora ${\omega }_0=v/R$, e dunque l'energia $\mathrm{\Delta }ℰ$ emessa in un periodo è:

$\mathrm{\Delta }ℰ=WT=W\frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{e^2}{3R}{v}^3{\left(\frac{ℰ}{m}\right)}^4$

Poiché $\mathrm{\Delta }ℰ\propto 1/R$, in un acceleratore grande si dissipa meno energia; come prima, poi, $\mathrm{\Delta }ℰ\propto 1/m^4$. Per renderci conto degli ordini di grandezza, valutiamo $\mathrm{\Delta }ℰ$ nel caso di due importanti acceleratori:

LEP era un acceleratore di elettroni, con $R=4.3$ km, $ℰ=100$ GeV e $m=0.5$ MeV. Allora:

$\frac{\mathrm{\Delta }ℰ}{ℰ}\simeq 2\times 10^{-2}$

Può non sembrare molto, ma in realtà è tantissimo perché gli elettroni in esso compivano circa 11.000 giri al secondo.

LHC è un acceleratore di protoni, con $R=4.3$ km, $ℰ=14$ TeV e $m=1$ GeV. Allora:

$\frac{\mathrm{\Delta }ℰ}{ℰ}\simeq 3\times 10^{-9}$

non è dunque rilevante, ma nemmeno trascurabile (corrisponde a circa una perdita del 2% dell'energia in un'ora).

Il problema tecnico di LHC è che $B\propto E/(eR)$, e dunque servono campi magnetici intensissimi.