Elettrodinamica classica/Analisi spettrale

Finora abbiamo studiato la dipendenza della radiazione emessa dalla direzione di osservazione. È però interessante anche sapere come è distribuita la radiazione in funzione della frequenza. Vogliamo dunque cercare di capire quantitativamente la distribuzione spettrale della radiazione emessa per irraggiamento. Detta $\omega$ la frequenza della radiazione, la sua distribuzione spettrale è:

$\frac{d^2ℰ}{d\omega d\mathrm{\Omega }}$

ossia l'energia emessa per unità di frequenza e di angolo solido; volendo possiamo studiare anche $dℰ/d\omega$, ossia l'energia totale emessa per unità di frequenza. Dobbiamo dunque distinguere due casi: quello in cui i fenomeni coinvolti sono periodici e quello in cui non lo sono. Dall'analisi di Fourier sappiamo che una funzione non periodica ha spettro di frequenze continuo:

$f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-i\omega t}\tilde{f}(\omega )d\omega$

mentre nel caso di fenomeni periodici, detto $T$ il periodo e ${\omega }_0$ la relativa frequenza, si avrà:

$f(t+T)=f(t)\Rightarrow f(t)=\sum _{N=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-iN{\omega }_{0}t}{f}_N$

ove $f_N$ sono i coefficienti di Fourier della serie. È utile anche l'identità di Parsifal:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|f(t){|}^{2}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|\tilde{f}(\omega ){|}^{2}d\omega$

Inoltre se $f$ è reale, ossia $f(t)=f^{\ast }(t)$, allora $\tilde{f}(\omega )={\tilde{f}}^{\ast }(-\omega )$. In questo caso, dunque:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|f(t){|}^{2}dt=2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}|\tilde{f}(\omega ){|}^{2}d\omega$

L'analogo di questa relazione nel caso di spettro discreto (ossia di fenomeni periodici) è:

$\frac{1}{T}{\int }_0^T|f(t){|}^{2}dt=2\sum _{N=1}^{\mathrm{\infty }}|f_N{|}^2+|f_0{|}^2$

Supponiamo dunque di avere a che fare con un fenomeno non periodico; allora la quadricorrente $j^{\mu }(t;\overrightarrow{x})$ non sarà periodica, e quindi:

$j^{\mu }(t;\overrightarrow{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{i\omega t}{j}^{\mu }(\omega ;\overrightarrow{x})d\omega$

Si avrà quindi anche:

$\overrightarrow{E}(t;\overrightarrow{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{i\omega t}\overrightarrow{E}(\omega ;\overrightarrow{x})d\omega$

Le formule che abbiamo usato finora ci hanno permesso di stabilire che:

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=r^2|\overrightarrow{E}(t){|}^2$

Dunque:

$\frac{dℰ}{d\mathrm{\Omega }}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}dt=r^2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|\overrightarrow{E}(t){|}^{2}dt$

e per l'identità di Parsifal:

$\frac{dℰ}{d\mathrm{\Omega }}=2r^2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}|\overrightarrow{E}(\omega ){|}^{2}d\omega$

Pertanto:

$\frac{d^2ℰ}{d\omega d\mathrm{\Omega }}=2r^2|\overrightarrow{E}(\omega ){|}^2$

Nel caso periodico (indichiamo con $\overline{x}$ la media temporale di $x$):

$\frac{d\bar{W}}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}dt\Rightarrow \frac{d{W}_N}{d\mathrm{\Omega }}=2r^2|{\overrightarrow{E}}_N{|}^2$

ove $N$ è un intero, che indica il multiplo della frequenza fondamentale.

Dobbiamo quindi calcolare $\overrightarrow{E}(\omega )$, e lo facciamo partendo dall'espressione del quadripotenziale:

$A^{\mu }(t;\overrightarrow{x})=\frac{1}{4\pi r}\int j^{\mu }(t-r+\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y};\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}+O\left(\frac{1}{r^2}\right)$

In termini della trasformata di Fourier della quadricorrente:

$j^{\mu }(t;\overrightarrow{y})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{i\omega t}{j}^{\mu }(\omega ;\overrightarrow{y})d\omega$

allora:

$A^{\mu }(t;\overrightarrow{x})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{i\omega t}[\frac{e^{-i\omega r}}{4\pi r}\int e^{i\omega \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}}{j}_{\mu }(\omega ;\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}]d\omega$

(ove il termine fra parentesi è $A^{\mu }(\omega ;\overrightarrow{x})$). Ora, poiché:

$\overrightarrow{E}(t;\overrightarrow{x})=\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\dot{A}})$

(che è un'espressione conseguenza della relazione delle onde, dunque valida per grandi $r$, come stiamo supponendo noi), allora:

$\overrightarrow{E}(\omega ;\overrightarrow{x})=-i\omega \overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{A}(\omega ;\overrightarrow{x}))=-i\omega \frac{e^{-i\omega r}}{4\pi r}\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \int e^{i\omega \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}}\overrightarrow{j}(\omega ;\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y})$

In linea di principio, dunque, il problema è risolto; la questione è se riusciamo a calcolare l'integrale o meno. Vediamo dunque di capire in quali contesti possiamo estrarre informazioni qualitative sullo spettro emesso. Al solito, consideriamo i regimi non relativistico e ultra-relativistico.