Elettrodinamica classica/Azione del campo elettromagnetico libero

Le nostre variabili dinamiche sono ora i campi. Potremmo ipotizzare che queste variabili siano direttamente le componenti del tensore $F^{\mu \nu }(x)$, e quindi potremmo provare a scrivere un'azione come funzionale di $F^{\mu \nu }(x)$. Ciò però non è possibile, perché le equazioni di Maxwell sono otto (quattro date da $\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\nu }F_{\rho \sigma }=0$ e quattro da $\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=0$), mentre $F^{\mu \nu }$ ha solo sei componenti indipendenti: effettuando la variazione di un funzionale di $F^{\mu \nu }$ otterremmo quindi solo sei equazioni. Per utilizzare il formalismo lagrangiano in elettrodinamica è necessario pensare ai potenziali $A^{\mu }(x)$ come variabili dinamiche: si tratta infatti di quattro variabili, e in termini di esse $\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\nu }F_{\rho \sigma }=0$ è un'identità, e dunque le uniche equazioni che restano da imporre sono $\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=0$, che sono proprio quattro. Dobbiamo pensare all'azione di un campo elettromagnetico libero come un funzionale di $A^{\mu }(x)$, ossia:

$I[A^{\mu }(x)]=\int {\mathcal {L}}(A^{\mu }(x),\partial _{\nu }A^{\mu }(x))\,d^{4}x$

Dobbiamo quindi lavorare con entità che non sono direttamente quantità fisiche, per via dell'invarianza di gauge.

Come possiamo dunque scrivere $I$ di modo che sia invariante di gauge? Sicuramente non potrà comparire direttamente $A_{\mu }$; l'unico oggetto costruito con esso che è gauge-invariante è $F^{\mu \nu }$. Pertanto ${\mathcal {L}}$ potrà dipendere solo dalle derivate prime di $A^{\mu }$, e nella forma di $F^{\mu \nu }$:

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(F^{\mu \nu }(x))$

Inoltre, siccome le equazioni dei campi sono lineari in $F^{\mu \nu }$, la lagrangiana che cerchiamo dovrà essere quadratica in $F^{\mu \nu }$. Gli unici invarianti quadratici che si possono costruire con $F^{\mu \nu }$ sono $F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }$ e $\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }$. Dunque:

${\mathcal {L}}=\alpha F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+\beta \varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }$

In realtà però dev'essere $\beta =0$, perché l'elettrodinamica è invariante sotto parità, mentre $\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$ è pseudoscalare sotto parità. Se anche fosse $\beta \neq 0$, il secondo contributo non avrebbe effetti sulle equazioni del moto: è infatti possibile dimostrare che esiste un quadrivettore $X^{\mu }$ tale che $\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }=\partial _{\mu }X^{\mu }$.

Anche la costante $\alpha$ non ha effetti sulle equazioni del moto, perché infatti moltiplicare la lagrangiana per una costante non ne altera le equazioni di Eulero-Lagrange; convenzionalmente (vedremo fra poco perché), si pone $\alpha =-1/4$. Quindi:

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }$

e le sue equazioni di Eulero-Lagrange sono:

$\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \partial _{\mu }A_{\nu }}}=0$

(infatti il termine contenente $\partial A_{\nu }$ è nullo perché ${\mathcal {L}}$ non dipende da $A_{\nu }$ ma dalle sue derivate). Calcoliamo dunque la variazione dell'azione:

${\begin{aligned}\delta I_{A}[A_{\mu }]&=\delta \!\left(-{\frac {1}{4}}\int F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\,d^{4}x\right)=-{\frac {1}{2}}\int F^{\mu \nu }\delta F_{\mu \nu }\,d^{4}x=\\&=-{\frac {1}{2}}\int F^{\mu \nu }(\partial _{\mu }\delta A_{\nu }-\partial _{\nu }\delta A_{\mu })\,d^{4}x=-\int F^{\mu \nu }\partial _{\mu }\delta A_{\nu }\,d^{4}x=\\&=\int \partial _{\mu }F^{\mu \nu }\delta A_{\nu }\,d^{4}x\end{aligned}}$

(i termini di bordo si annullano perché $A_{\nu }$ si annulla all'infinito). Dunque:

$\delta I_{A}=0\ \forall \delta A_{\nu }\iff \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=0$