Elettrodinamica classica/Azione di una particella libera

Vogliamo ora scrivere esplicitamente la lagrangiana dell'elettrodinamica. Poiché campi e particelle interagiscono, scriveremo prima separatamente le lagrangiane di particelle e campi liberi per poi aggiungere il termine d'interazione.

In questo caso le variabili dinamiche sono le $x^{\mu }(\lambda )$, e quindi abbiamo un sistema con gradi di libertà finiti. Vogliamo dunque scrivere un'azione, cioè un funzionale di $x^{\mu }(\lambda )$, la cui variazione produca le equazioni "banali" della particella libera, cioè:

$\frac{d{p}^{\mu }}{ds}=0$

Questo funzionale dovrà essere invariante di Lorentz, ma anche di Poincaré (cioè invariante per traslazioni spazio-temporali); nella lagrangiana non potrà dunque comparire esplicitamente $x^{\mu }$, ma solo le sue derivate. Inoltre, dovrà essere quadratica in $d{x}^{\mu }/d\lambda$, perché le equazioni del moto devono essere lineari.

L'unico invariante di Lorentz che possiamo costruire con le derivate di $x^{\mu }$ è il tempo proprio:

$ds=\sqrt{\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}_{\mu }}{d\lambda }}d\lambda$

Si dovrà quindi avere:

$I=\int f(s)ds$

Che forma ha dunque $f(s)$? La si determina imponendo che nel limite non relativistico $I$ si riconduca all'azione classica di una particella libera, cioè:

$I_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}=\int \left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)dt+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}$

Dunque:

$ds=\sqrt{1-v^2}dt\stackrel{v\ll 1}{\to }(1-\frac{1}{2}{v}^2)dt$

Dunque, per confronto si ha $f(s)=-m$ (il termine che moltiplica $1$ è costante, dunque lo si trascura perché la sua variazione è nulla). Pertanto:

$I=-m\int ds$

Poiché però $I$ è funzionale di $x^{\mu }(\lambda )$, rendiamone esplicita la dipendenza:

$I[x^{\mu }(\lambda )]=-m{\int }_{{\lambda }_1}^{{\lambda }_2}\sqrt{\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}_{\mu }}{d\lambda }}d\lambda$

A questo punto, supponendo ovviamente $\delta x^{\mu }({\lambda }_1)=\delta x^{\mu }({\lambda }_2)=0$, facciamo la variazione di quest'azione:

$\delta I[x^{\mu }(\lambda )]=-m{\int }_{{\lambda }_1}^{{\lambda }_2}\frac{1}{2\sqrt{\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}_{\mu }}{d\lambda }}}2\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\delta \frac{d{x}_{\mu }}{d\lambda }d\lambda =-m{\int }_{{\lambda }_1}^{{\lambda }_2}\frac{\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }}{\sqrt{\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}_{\mu }}{d\lambda }}}\frac{d}{d\lambda }\delta x_{\mu }d\lambda$

Sfruttiamo ora l'invarianza per riparametrizzazione, usando $s$ come parametro:

$\begin{array}{cc}\delta I[x^{\mu }(s)]& =-m{\int }_{s_1}^{s_2}\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\frac{d}{ds}\delta x_{\mu }ds=\\ & =m{\int }_{s_1}^{s_2}\frac{d}{ds}\left(\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\right)\delta x_{\mu }ds-m\underset{=0}{\underbrace{{\int }_{s_1}^{s_2}\frac{d}{ds}\left(\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\delta x_{\mu }\right)ds}}=\\ & =m{\int }_{s_1}^{s_2}\frac{d}{ds}\left(\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\right)\delta x_{\mu }ds=0\mathrm{\forall }\delta x^{\mu }\end{array}$

$⟹m\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{s}^2}=\frac{d{p}^{\mu }}{ds}=0$

Pertanto, l'azione di una particella libera è effettivamente:

$I[x^{\mu }(\lambda )]=-m{\int }_{{\lambda }_1}^{{\lambda }_2}\sqrt{\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}_{\mu }}{d\lambda }}d\lambda$