Elettrodinamica classica/Azione totale dell'elettrodinamica

Vogliamo dunque scrivere esplicitamente la lagrangiana dell'elettrodinamica, ossia quella contenente i termini relativi sia ai campi che alle particelle. Chiamiamo innanzitutto ${ℒ}_A=-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }$ e ${ℒ}_I=-j_{\nu }{A}^{\nu }$. Poiché stavolta $j^{\nu }$ dipende dalle traiettorie delle particelle:

$j^{\mu }(x)=e\int \frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\delta }^{(4)}(x-x(\lambda ))d\lambda ⟹$

$⟹I_I=\int {ℒ}_I{d}^{4}x=-e\int \int \frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{A}_{\mu }(x){\delta }^{(4)}(x-x(\lambda ))d^{4}xd\lambda =$

$=-e\int \frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{A}^{\mu }(x(\lambda ))d\lambda (=-e{\int }_{\gamma }{A}_{\mu }d{x}^{\mu })$

Questa scrittura ha anche un significato geometrico semplice: è l'integrale di linea di $A_{\mu }$ lungo la linea d'universo della particella.

Dunque, l'azione totale dell'elettrodinamica sarà:

$I_{\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{T}}[A_{\mu }(x),x^{\mu }(\lambda )]=I_A[A_{\mu }(x)]+I_P[x^{\mu }(\lambda )]+I_I[A_{\mu }(x),x^{\mu }(\lambda )]$

ove $I_P$ è l'azione della particella libera. Le equazioni del moto discenderanno dalla condizione che la variazione di $I_{\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{T}}$ sia rispetto ad $A_{\mu }$ che a $x^{\mu }$ sia nulla. Dunque:

${\delta }_{A_{\mu }}{I}_{\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{T}}=0⟹{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=j^{\nu }$

(e lo avevamo già visto). Inoltre:

$\begin{array}{cc}{\delta }_{x^{\mu }}{I}_{\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{T}}& ={\delta }_{x^{\mu }}{I}_P[x^{\mu }(\lambda )]+{\delta }_{x^{\mu }}{I}_I[A_{\mu }(x),x^{\mu }(\lambda )]\\ {\delta }_{x^{\mu }}{I}_I[A_{\mu }(x),x^{\mu }(\lambda )]& ={\delta }_{x^{\mu }}[-e\int \frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{A}_{\mu }(x(\lambda ))d\lambda ]=\\ & =-e\int (\frac{d}{d\lambda }\delta x^{\mu }\cdot A_{\mu }(x(\lambda ))+\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\delta A_{\mu }(x(\lambda )))d\lambda =\\ & =-e\int (\frac{d}{d\lambda }\delta x^{\nu }\cdot A_{\nu }(x(\lambda ))+\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }(x(\lambda ))\delta x^{\nu })d\lambda =\\ & =e\int \delta x^{\nu }(\frac{d}{d\lambda }{A}_{\nu }(x(\lambda ))-\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }(x(\lambda )))d\lambda =\\ & =e\int \delta x^{\nu }(\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\partial }_{\mu }{A}_{\nu }(x(\lambda ))-\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }(x(\lambda )))d\lambda =\\ & =e\int \frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{F}_{\mu \nu }(x(\lambda ))\delta x^{\nu }d\lambda =e\int \frac{d{x}^{\mu }}{ds}{F}_{\mu \nu }(x(s))\delta x^{\nu }ds\end{array}$

Dunque:

${\delta }_{x^{\mu }}{I}_{\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{T}}=\int (\frac{d{p}^{\nu }}{ds}+e{F}_{\mu }{}^{\nu }(x(s))u^{\mu })\delta x_{\nu }ds$

Pertanto, la condizione ${\delta }_{x^{\mu }}{I}_{\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{T}}=0$ per ogni variazione di $x^{\nu }$ restituisce le equazioni di Lorentz ($d{p}^{\mu }/ds=e{F}^{\nu }{}_{\mu }{u}^{\mu }$).

Pertanto, la lagrangiana totale dell'elettrodinamica è:

$L_{\mathrm{T}\mathrm{O}\mathrm{T}}=-m\sqrt{\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }\frac{d{x}_{\mu }}{d\lambda }}-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }-e\frac{d{x}^{\mu }}{d\lambda }{\delta }^{(4)}(x-x(\lambda ))A_{\mu }(x(\lambda ))$