Elettrodinamica classica/Campi tensoriali

Per campo tensoriale si intende un tensore le cui componenti sono funzione del punto dello spaziotempo in cui vengono considerate.

Un campo scalare, dunque, sarà uno scalare del tipo $\phi (x)$ e che trasforma come:

$\phi (x)=\phi (x^{\prime })$

Un campo vettoriale è una collezione di quattro numeri $V^{\mu }(x)$, ognuno dei quali dipende appunto da $x$. I campi vettoriali trasformano come:

$V{\text{'}}^{\mu }(x^{\prime })={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{V}^{\nu }(x)V{\text{'}}_{\mu }(x^{\prime })={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu }{}^{\nu }{V}_{\nu }(x)$

ma poiché $x^{\prime }=\mathrm{\Lambda }x⟹x={\mathrm{\Lambda }}^{-1}{x}^{\prime }$, allora:

$V{\text{'}}^{\mu }(x^{\prime })={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{V}^{\nu }({\mathrm{\Lambda }}^{-1}{x}^{\prime })V{\text{'}}_{\mu }(x^{\prime })={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu }{}^{\nu }{V}_{\nu }({\mathrm{\Lambda }}^{-1}{x}^{\prime })$

e rinominando $x^{\prime }$ con $x$:

$V{\text{'}}^{\mu }(x)={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{V}^{\nu }({\mathrm{\Lambda }}^{-1}x)V{\text{'}}_{\mu }(x)={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu }{}^{\nu }{V}_{\nu }({\mathrm{\Lambda }}^{-1}x)$

Il gradiente di un campo tensoriale $T_{{\nu }_1{\nu }_2\cdots }^{{\mu }_1{\mu }_2\cdots }(x)$ si trasforma anch'esso come un tensore, e lo si indica in questo modo:

$\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}{T}_{{\nu }_1\cdots }^{{\mu }_1\cdots }={\partial }_{\mu }{T}_{{\nu }_1\cdots }^{{\mu }_1\cdots }$

Questa notazione è consistente col fatto che il gradiente trasformi come un tensore covariante; infatti considerando che $x^{\nu }=({\mathrm{\Lambda }}^{-1}{)}^{\nu }{}_{\mu }x{\text{'}}^{\mu }$ si ha:

$\partial {\text{'}}_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x{\text{'}}^{\mu }}=\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x{\text{'}}^{\mu }}=({\mathrm{\Lambda }}^{-1}{)}^{\nu }{}_{\mu }{\partial }_{\nu }={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu }{}^{\nu }{\partial }_{\nu }$

che è proprio la legge di trasformazione di un tensore covariante. Perciò:

${{\partial }^{\prime }}_{\mu }{T^{\prime }}_{{\nu }_1\cdots }^{{\mu }_1\cdots }={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu }{}^{\nu }{\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }_1}{}_{\mu {\text{'}}_1}{\mathrm{\Lambda }}^{{\nu }_1}{}_{\nu {\text{'}}_1}\cdots {\partial }_{\nu }{T}_{\nu {\text{'}}_1\cdots }^{\mu {\text{'}}_1\cdots }$

e quindi il gradiente di un tensore di rango $(m,n)$ è un tensore di rango $(m,n+1)$.

Tutto ciò noi lo abbiamo appena visto in quattro dimensioni, ma può essere generalizzato a qualunque dimensione. Se per esempio passiamo da quattro a tre dimensioni, tutto ciò continua a valere con la differenza che la metrica, invece di essere ${\eta }_{\mu \nu }$, è ${\delta }_{ij}$, e le trasformazioni fra sistemi di riferimento sono le rotazioni tridimensionali (che, come noto, sono rappresentate da matrici $R$ tali che $R^{T}R=I$). In tre dimensioni, poi, non c'è più differenza fra vettori covarianti e controvarianti (per passare dall'uno all'altro si moltiplica per una $\delta$), $A_i=A^i$; per non confonderci, però, useremo sempre indici controvarianti anche per tensori tridimensionali.

Anche in tre dimensioni possiamo definire il tensore ${\epsilon }^{ijk}$ completamente antisimmetrico con ${\epsilon }^{123}=+1$. Questo tensore è utile per definire i prodotti vettoriali; infatti, in termini di ${\epsilon }^{ijk}$, se $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{b}$ sono vettori si ha che:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}{)}^i={\epsilon }^{ijk}{a}_j{b}_k(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{a}{)}^i={\epsilon }^{ijk}\frac{\partial }{\partial x^j}{a}_k$

In questo modo, molte relazioni vettoriali sono più facili da ricavare, tenendo anche a mente alcune proprietà di ${\epsilon }^{ijk}$. Queste sono (le si verificano "brutalmente"):

${\epsilon }^{ijk}{\epsilon }_{ij\ell }=2{\delta }^k{}_{\ell }{\epsilon }^{ik\ell }{\epsilon }_{imn}={\delta }^k{}_m{\delta }^{\ell }{}_n-{\delta }^k{}_n{\delta }^{\ell }{}_m$

Analoghe relazioni valgono in quattro dimensioni:

${\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }{\epsilon }_{\mu \nu \rho \alpha }=-6{\delta }^{\sigma }{}_{\alpha }$

(e analoghe per un numero diverso di indici controvarianti). Infine, in tre dimensioni gli unici tensori invarianti sono $\epsilon$ e $\delta$.