Elettrodinamica classica/Campo nella zona delle onde

Supponiamo di avere una quadricorrente $j^{\mu }(t;\overrightarrow{x})$ contenuta in una regione finita di spazio:

$j^{\mu }(t;\overrightarrow{x})=0\text{ se }|\overrightarrow{x}|>\ell \mathrm{\forall }t$

Vogliamo studiare il campo per $|\overrightarrow{x}|:=r\gg \ell$, detta zona delle onde (vedremo fra poco perché). Il quadripotenziale relativo a $j^{\mu }$ è:

$A^{\mu }(x)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{j^{\mu }(t-|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|;\overrightarrow{y})}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|}{d}^3\overrightarrow{y}$

Vale inoltre:

$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=(|\overrightarrow{x}{|}^2-2\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}+|\overrightarrow{y}{|}^2{)}^{1/2}=|\overrightarrow{x}|{(1-2\frac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}{|}^2}+\frac{|\overrightarrow{y}{|}^2}{|\overrightarrow{x}{|}^2})}^{1/2}$

Poiché consideriamo il caso $|\overrightarrow{y}|<\ell \ll |\overrightarrow{x}|$, il termine $|\overrightarrow{y}{|}^2/|\overrightarrow{x}{|}^2$ è trascurabile, e si può espandere in serie di Taylor:

$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{x}|{(1-2\frac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}{|}^2})}^{1/2}\simeq |\overrightarrow{x}|(1-\frac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}{|}^2})+o\left(\frac{1}{r^2}\right)$

e dunque il quadripotenziale è:

$A^{\mu }(x)=\frac{1}{4\pi r}\int j^{\mu }(t-r+\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y};\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}+o\left(\frac{1}{r^2}\right)$

I termini di ordine $1/r^2$ contribuirebbero solo ai campi di velocità, e dunque li trascuriamo in quanto siamo interessati ai soli campi di accelerazione; il termine $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}$ (detto ritardo microscopico), va invece tenuto perché in generale $t-r$ può essere arbitrariamente grande o piccolo; come vedremo, $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}$ si potrà trascurare solo se $j^{\mu }$ varia abbastanza lentamente. Vorremmo dunque dimostrare che il quadripotenziale che abbiamo trovato soddisfa le relazioni delle onde; è per questo che la zona a grandi distanze dal sistema di cariche in moto è detta zona delle onde.

Verifichiamo dunque che $A^{\mu }$ soddisfi le relazioni delle onde, in particolare ${\partial }_{\mu }{A}^{\nu }=n_{\mu }{\dot{A}}^{\nu }$, con $n^{\mu }=(1;\overrightarrow{n})$. L'unica componente non banale di quest'equazione è $\mu =i$ (l'altra è immediata); poiché inoltre vogliamo trascurare i termini di ordine $1/r^2$, l'unica derivata che contribuisce è ${\partial }_{i}r=x^i/r=n^i$. Dunque:

${\partial }_i{A}^{\mu }=-\frac{n^i}{4\pi r}\int {\partial }_0{j}^{\mu }(t-r+\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y};\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}+o\left(\frac{1}{r^2}\right)=-n^i{\partial }_0{A}^{\mu }=n^i{\dot{A}}^{\mu }=n^i{\dot{A}}^{\mu }$

$\Rightarrow {\partial }_{\mu }{A}^{\nu }=n_{\mu }{\dot{A}}^{\nu }$

Alla luce di questo e considerando che per la gauge di Lorenz si ha ${\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$, l'altra relazione delle onde, $n_{\mu }{\dot{A}}^{\mu }=0$, è immediata:

$n_{\mu }{\dot{A}}^{\mu }={\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0$

Ora, il fatto che $A^{\mu }$ così come definito prima soddisfi le relazioni delle onde non implica che si comporti esattamente come delle onde piane: in realtà il campo nella zona delle onde è composto da onde "quasi" sferiche (il termine $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}$ rompe la simmetria sferica). Ovviamente, se si osserva una porzione abbastanza piccola di un'onda sferica a grandi distanze dalla sua sorgente, localmente la si può approssimare con un'onda piana.

Dunque, poiché $A^{\mu }$ soddisfa le relazioni delle onde, valgono tutte le considerazioni che abbiamo fatto per le onde piane (quelle, infatti, discendevano dalla sola validità delle relazioni delle onde, e non dalla particolare forma di quest'ultime). Sappiamo pertanto come sono fatti i campi elettromagnetici nella zona delle onde:

$\overrightarrow{E}=\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\dot{A}})-\overrightarrow{\dot{A}}=-\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\dot{A}})$

$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{E}$

Inoltre, il tensore energia-impulso è:

$T_{\text{emg}}^{\mu \nu }=n^{\mu }{n}^{\nu }|\overrightarrow{E}{|}^2=n^{\mu }{n}^{\nu }|\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\dot{A}}{|}^2$

Sappiamo inoltre che:

$\frac{d{P}^{\mu }}{dtd\mathrm{\Omega }}=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^2{T}_{\text{emg}}^{i\mu }{n}^i=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^2{n}^i{n}^{\mu }|\overrightarrow{E}{|}^2{n}^i=\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^2{n}^{\mu }|\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\dot{A}}{|}^2$

con:

$\overrightarrow{\dot{A}}=\frac{1}{4\pi r}\int {\partial }_0\overrightarrow{j}(t-r+\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y};\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}$

Questa è la formula generale per determinare il quadrimomento irradiato da un sistema di cariche. Il problema è che l'integrale che definisce $\overrightarrow{\dot{A}}$ è molto complicato da calcolare per via della presenza del ritardo microscopico $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}$. Vogliamo dunque cercare di sviluppare dei metodi approssimati per calcolare quest'integrale; il tipo di approssimazione che si può fare, in generale, dipende da quanto è "importante" il ritardo microscopico. Esistono due casi limite, che approfondiremo fra poco:

• limite non relativistico in questo caso ($v\ll c$) vedremo che $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}$ si può espandere in serie di Taylor, perché è molto piccolo; questo caso trova applicazioni ad esempio nell'irraggiamento atomico
• limite ultra-relativistico in questo caso ($v\sim c$) $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}$ è molto grande, e vedremo poi come semplificare il calcolo; questa situazione trova applicazioni ad esempio negli acceleratori di particelle