Elettrodinamica classica/Caso non relativistico

Abbiamo già visto in Approssimazione di dipolo che se la frequenza caratteristica del fenomeno è $\omega$, anche la radiazione emessa ha frequenza $\omega$. Il limite in cui quest'approssimazione è valida è $v\ll 1$, equivalente alla richiesta $\omega \ell \ll 1$, con $\ell$ dimensioni caratteristiche del sistema. In questo regime, $\omega {\vec {n}}\cdot {\vec {y}}$ è trascurabile, perché $\omega {\vec {n}}\cdot {\vec {y}}\lesssim \omega \ell \ll 1$. Dunque, in questo caso:

${\vec {E}}(\omega ;{\vec {x}})=-i\omega {\frac {e^{-i\omega r}}{4\pi r}}{\vec {n}}\times \left({\vec {n}}\times \int {\vec {j}}(\omega ;{\vec {y}})d^{3}{\vec {y}}\right)$

Quest'integrale si può calcolare con la trasformata di Fourier del momento di dipolo:

${\vec {\dot {D}}}(t)=\int {\vec {j}}(t;{\vec {y}})d^{3}{\vec {y}}\quad \Rightarrow \quad -i\omega {\vec {D}}(\omega )=\int {\vec {j}}(\omega ;{\vec {y}})d^{3}{\vec {y}}$

Pertanto:

${\vec {E}}(\omega ;{\vec {x}})=-\omega ^{2}{\frac {e^{-i\omega r}}{4\pi r}}{\vec {n}}\times ({\vec {n}}\times {\vec {D}}(\omega ))\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}{\mathcal {E}}}{d\omega d\Omega }}={\frac {\omega ^{4}}{8\pi ^{2}}}|{\vec {n}}\times {\vec {D}}(\omega )|^{2}$

Dunque, le frequenze emesse sono quelle per le quali ${\vec {D}}(\omega )\neq 0$. Se il tempo caratteristico del fenomeno è $T$, allora ${\vec {D}}(\omega )\neq 0$ se $\omega \lesssim 1/T$; quindi, le frequenze emesse in quest'approssimazione sono $\omega \lesssim 1/T$. Se il fenomeno è periodico, allora l'unica frequenza emessa è $\omega$, in quanto ${\vec {D}}(\omega )$ è non nullo solo per quella frequenza.