Elettrodinamica classica/Caso ultra-relativistico

In questo caso $v\approx 1$. Per semplicità, consideriamo una particella carica in moto. Sappiamo che, per l'espressione dei campi di Lienard-Wiechert:

$\overrightarrow{E}(t)=\frac{e}{4\pi r}\frac{\overrightarrow{n}\times [(\overrightarrow{n}-\overrightarrow{v})\times \overrightarrow{a}]}{(1-\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}{)}^3}{|}_{t^{\prime }}$

ove $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{a}$ sono calcolate al tempo $t^{\prime }$, definito dalla relazione:

$t=t^{\prime }+r-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}(t^{\prime })$

(valida per grandi $r$). Cercare di fare il conto esatto (cioè estraendo $t^{\prime }$ e sostituendolo) è estremamente complicato, ma qualcosa si riesce comunque a dire. Si ha:

$\overrightarrow{E}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{i\omega t}\overrightarrow{E}(t)dt$

per semplificare l'integrale, cambiamo variabile da $t$ a $t^{\prime }$. Allora si ha (gli estremi d'integrazione non cambiano se $\overrightarrow{y}$ è una traiettoria al finito):

$dt=d{t}^{\prime }-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}(t^{\prime })d{t}^{\prime }\Rightarrow dt=d{t}^{\prime }(1-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}(t^{\prime }))\Rightarrow$

$\Rightarrow \overrightarrow{E}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{e}{4\pi r}{e}^{-i\omega (t^{\prime }+r-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}(t^{\prime }))}\frac{\overrightarrow{n}\times [(\overrightarrow{n}-\overrightarrow{v})\times \overrightarrow{a}]}{(1-\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}{)}^2}{|}_{t^{\prime }}d{t}^{\prime }$

Quindi (cambiando nome alla variabile d'integrazione in $t$):

$\frac{d^2ℰ}{d\omega d\mathrm{\Omega }}=\frac{e^2}{8{\pi }^2}{\left|{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-i\omega (t-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y})}\frac{\overrightarrow{n}\times [(\overrightarrow{n}-\overrightarrow{v})\times \overrightarrow{a}]}{(1-\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}{)}^2}dt\right|}^2$

Questa è ancora una formula esatta (non abbiamo introdotto nessuna approssimazione). Supponiamo ora che il moto della particella sia "quasi rettilineo", nel senso che ora specifichiamo (in realtà si può mostrare che quello che troveremo vale per un moto qualunque; facciamo quest'ipotesi per semplificare i conti). Chiamiamo $\chi$ l'angolo di deflessione della particella durante il moto (nella figura, è l'angolo fra $v_i$ e $v_f$). Abbiamo già visto che la quasi totalità della radiazione emessa dalla particella è contenuta in un cono di angolo solido $\alpha \sim \sqrt{1-v^2}$; diremo dunque che il moto della particella è "quasi rettilineo" se $\chi \ll \alpha$.

In quest'approssimazione possiamo valutare l'integrale in $d^2ℰ/d\omega d\mathrm{\Omega }$, e lo facciamo prendendo $\overrightarrow{n}\approx \overrightarrow{v}/v$, a meno di angoli di ordine $\alpha$. Pertanto, $\overrightarrow{n}-\overrightarrow{v}\approx \overrightarrow{n}(1-v)$ e $1-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}\approx 1-v$; possiamo poi approssimare il moto come rettilineo, e dunque $\overrightarrow{y}\approx \overrightarrow{v}t$ e $t\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}\approx (1-v)t$, con $v\approx 1$. L'unica quantità che dipende significativamente dal tempo nell'integrale è $\overrightarrow{a}$. Dunque:

$\frac{d^2ℰ}{d\omega d\mathrm{\Omega }}\simeq \frac{e^2}{8{\pi }^2}\frac{1}{(1-v{)}^2}{|\overrightarrow{n}\times {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-i\omega (1-v)t}\overrightarrow{a}(t)dt|}^2$

Ma il termine nell'integrale è la trasformata di Fourier di $\overrightarrow{a}$ valutata in $\omega (1-v)$. Pertanto:

$\frac{d^2ℰ}{d\omega d\mathrm{\Omega }}=\frac{e^2}{8{\pi }^2}\frac{1}{(1-v{)}^2}|\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{a}(\omega (1-v)){|}^2$

Nelle nostre approssimazioni, poi, $1-v\approx 1-v^2$. Il fattore $1/(1-v{)}^2$ nell'equazione precedente è espressione del fatto che in regime ultra-relativistico viene emessa molta più energia rispetto al caso non relativistico. Il termine $\overrightarrow{a}(\omega (1-v))$, invece, aumenta le frequenze emesse dal sistema: infatti, se il processo ha un tempo caratteristico $T$, allora $\overrightarrow{a}(\omega )\ne 0$ se $\omega \lesssim 1/T$; poiché però nel caso ultrarelativistico compare $\overrightarrow{a}(\omega (1-v))$, ciò significa che l'energia emessa per unità di frequenza e angolo solido è significativamente diversa da zero se $(1-v)\omega \lesssim 1/T$, ossia:

$\omega \lesssim \frac{1}{1-v}\frac{1}{T}\approx \frac{1}{1-v^2}\frac{1}{T}={\left(\frac{E}{m}\right)}^2\frac{1}{T}$

Dunque, nel limite $v\sim 1$, le frequenze emesse sono molto più grandi di $1/T$ (ciò può anche essere visto come una sorta di effetto Doppler).

Come detto, anche se abbiamo ipotizzato il moto quasi rettilineo, tutti i risultati che abbiamo appena trovato si applicano a moti qualunque. In un sincrotrone, ad esempio, detta ${\omega }_0$ la frequenza di sincrotrone, ci aspetteremmo $T\approx 1/{\omega }_0$; in realtà ciò non è corretto, e si ha $T\approx \theta /{\omega }_0$ (il tempo caratteristico è quello che la particella impiega a percorrere un arco di circonferenza dell'ordine di $\theta$), ossia:

$T\approx \frac{\sqrt{1-v^2}}{{\omega }_0}=\frac{m}{ℰ}{\omega }_0$

Dunque:

$\frac{d^2ℰ}{d\omega d\mathrm{\Omega }}\ne 0\Rightarrow \omega \lesssim {\left(\frac{ℰ}{m}\right)}^3{\omega }_0\approx \frac{1}{R}{\left(\frac{ℰ}{m}\right)}^3$

Ad esempio, a LEP si ha $1/\omega =\lambda =10^{-3}$ nm, mentre a LHC $\lambda \simeq 1$ nm.