Elettrodinamica classica/Diffusione (o scattering) Thomson

È un processo fisico importante in molte situazioni, che poi analizzeremo. Si tratta di emissione di radiazione da parte di particelle cariche. Consideriamo una particella carica libera, che a un certo istante viene investita da un'onda elettromagnetica che si propaga lungo l'asse $z$, che per semplicità supporremo piana monocromatica e polarizzata linearmente.

Quando l'onda incide sulla particella, questa verrà accelerata nella direzione del campo elettromagnetico, emettendo radiazione. Vogliamo determinare l'energia emessa dalla particella in funzione della direzione, cioè dell'angolo rispetto all'asse $z$. In processi di diffusione come questo è utile descrivere il sistema attraverso la sezione d'urto (differenziale):

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{I_0}\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}$

(il termine "sezione" è dovuto al fatto che ha le dimensioni di un'area) ove $I_0$ è il flusso di energia incidente, ossia l'energia per unità di tempo e superficie dell'onda incidente. Cominciamo calcolando $I_0$. Poiché l'onda è piana e polarizzata linearmente:

${\overrightarrow{E}}_{\text{in}}={\overrightarrow{E}}_0\cos (\omega (t-z))$

${\overrightarrow{B}}_{\text{in}}=\hat{z}\times {\overrightarrow{E}}_{\text{in}}$

Per calcolare il flusso incidente, prendiamo la media temporale di $|\overrightarrow{S}|$:

$I_0=⟨|\overrightarrow{S}|⟩=⟨|\overrightarrow{E}{|}^2⟩=⟨|{\overrightarrow{E}}_0\cos (\omega (t-z)){|}^2⟩=\frac{1}{2}{E}_0^2$

Passiamo dunque al calcolo di $dW/d\mathrm{\Omega }$. Assumiamo innanzitutto che la velocità $v$ della particella, quando viene messa in moto, sia molto minore della velocità della luce, ossia $v\ll 1$ (vedremo poi quali sono le condizioni quantitative per soddisfare quest'ipotesi). Possiamo dunque valutare $dW/d\mathrm{\Omega }$ usando l'approssimazione di dipolo, e quindi dobbiamo innanzitutto determinare il momento di dipolo della particella una volta messa in moto. Si ha:

$m\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{y}(t)=e({\overrightarrow{E}}_{\text{in}}+\overrightarrow{v}\times {\overrightarrow{B}}_{\text{in}})$

Poiché $|{\overrightarrow{E}}_{\text{in}}|=|{\overrightarrow{B}}_{\text{in}}|$ e $v\ll 1$, il termine relativo al campo magnetico è trascurabile. Dunque:

$m\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{y}(t)=e{\overrightarrow{E}}_{\text{in}}(t;\overrightarrow{y}(t))\simeq e{\overrightarrow{E}}_{\text{in}}(t;0)$

ove l'ultima approssimazione vale per due motivi:

1. poiché $v\ll 1$, la variazione della posizione della particella una volta messa in moto non è rilevante;
2. poiché $\overrightarrow{E},\overrightarrow{B}\perp z$, la particella si muove solo in direzione ortogonale a $z$, mentre i campi dipendono solo dalla coordinata $z$.

Quindi:

$m\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{y}(t)=e{\overrightarrow{E}}_0\cos (\omega t)\Rightarrow \overrightarrow{y}(t)=-\frac{e}{m{\omega }^2}{\overrightarrow{E}}_0\cos (\omega t)$

e poiché:

$\overrightarrow{v}(t)=\frac{e}{m\omega }{\overrightarrow{E}}_0\sin (\omega t)\Rightarrow |{\overrightarrow{v}}_{max}|=\frac{e}{m\omega }|{\overrightarrow{E}}_0|$

allora la condizione $v\ll 1$ è soddisfatta quando:

$|{\overrightarrow{E}}_0|\ll \frac{m\omega }{e}\Rightarrow I_0\ll \frac{m^2{\omega }^2}{2e^2}$

Notiamo inoltre che in quest'approssimazione:

$|{\overrightarrow{y}}_{max}|=\frac{e}{m{\omega }^2}|{\overrightarrow{E}}_0|\ll \lambda =\frac{2\pi }{\omega }$

ove $\lambda$ è la lunghezza d'onda della radiazione. Pertanto, l'approssimazione non relativistica vale o per campi sufficientemente poco intensi o per frequenze abbastanza basse.

Dunque, si ha:

$\overrightarrow{D}(t)=e\overrightarrow{y}(t)\Rightarrow \overrightarrow{\ddot{D}}(t)=e\ddot{\overrightarrow{y}}(t)=e^2\frac{{\overrightarrow{E}}_0}{m}\cos (\omega t)$

Detti quindi $\overrightarrow{E}$ e $\overrightarrow{B}$ i campi emessi dalla particella:

$\overrightarrow{E}(t;r)=-\frac{1}{4\pi r}[\overrightarrow{\ddot{D}}-(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\ddot{D}})\overrightarrow{n}]=-\frac{e^2}{4\pi mr}[{\overrightarrow{E}}_0-(\overrightarrow{n}\cdot {\overrightarrow{E}}_0)\overrightarrow{n}]\cos (\omega (t-z))$

$\overrightarrow{B}(t;r)=\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{E}(t;r)$

Pertanto la potenza emessa dalla particella (o meglio la sua media temporale) è:

$⟨\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}⟩=r^2⟨|\overrightarrow{E}{|}^2⟩=\frac{1}{2}\frac{e^4}{16{\pi }^2{m}^2}[|{\overrightarrow{E}}_0{|}^2-(\overrightarrow{n}\cdot {\overrightarrow{E}}_0{)}^2]$

Si ha:

$⟨\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}⟩=\frac{e^4}{32{\pi }^2{m}^2}|{\overrightarrow{E}}_0{|}^2{\sin }^2\theta$

(da notare che anche stavolta c'è una dipendenza della potenza emessa da ${\sin }^2\theta$, come avevamo già detto). Notiamo anche che, poiché ${\overrightarrow{E}}_0$ è polarizzato linearmente, anche $\overrightarrow{E}$ lo è; inoltre, nelle nostre approssimazioni la frequenza dell'onda emessa è uguale a quella dell'onda incidente. In generale, però, questo non è vero.

Dall'espressione di $⟨\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}⟩$ vediamo anche che le particelle più leggere sono anche quelle che emettono più efficacemente; per questo motivo, ad esempio, in un plasma si può trascurare la radiazione emessa dai protoni (in quanto circa 2000 volte più pesanti degli elettroni) e considerare solo quella dovuta agli elettroni.

Possiamo anche generalizzare questa situazione al caso in cui la radiazione incidente non sia polarizzata. Consideriamo dunque un'onda incidente non polarizzata, ossia tale che la direzione di ${\overrightarrow{E}}_0$ nel piano ortogonale all'asse $\overrightarrow{z}$ è del tutto arbitraria (la sua distribuzione di probabilità rispetto all'angolo azimutale è costante). Per determinare i risultati precedenti in questa situazione dobbiamo mediare su ${\overrightarrow{E}}_0$. Indicando con $⟨⟨\cdot ⟩⟩$ la media sulle direzioni, si ha:

$⟨⟨E_{0,x}⟩⟩=⟨⟨E_{0,y}⟩⟩=0⟨⟨E_{0,x}^2⟩⟩=⟨⟨E_{0,y}^2⟩⟩=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{E}}_0{|}^2$

$⟨⟨E_{0,x}{E}_{0,y}⟩⟩=0$

(ove l'ultima relazione è dovuta al fatto che $E_{0,x}{E}_{0,y}$ è una funzione dispari in $x$ e $y$). Dunque, per determinare $dW/d\mathrm{\Omega }$ in questa situazione dobbiamo calcolare $⟨⟨(\overrightarrow{n}\cdot {\overrightarrow{E}}_0{)}^2⟩⟩$:

$⟨⟨(\overrightarrow{n}\cdot {\overrightarrow{E}}_0{)}^2⟩⟩=n_x^2⟨⟨E_{0,x}^2⟩⟩+n_y^2⟨⟨E_{0,y}^2⟩⟩+2n_x{n}_y⟨⟨E_{0,x}{E}_{0,y}⟩⟩=$

$=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{E}}_0{|}^2(n_x^2+n_y^2)=\frac{1}{2}|{\overrightarrow{E}}_0{|}^2{\sin }^2\theta$

(infatti stavolta l'angolo $\theta$ perde di significato perché ${\overrightarrow{E}}_0$ non ha più direzione definita).

Dunque (np sta per "non polarizzata"):

${⟨\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}⟩}_{\text{np}}=\frac{e^4}{32{\pi }^2{m}^2}|{\overrightarrow{E}}_0{|}^2(1-\frac{1}{2}{\sin }^2\theta )=\frac{e^4}{64{\pi }^2{m}^2}|{\overrightarrow{E}}_0{|}^2(1+{\cos }^2\theta )$

In questo caso, $⟨dW/d\mathrm{\Omega }{⟩}_{\text{np}}$ è massima per $\theta =0$ e $\theta =\pi$, ossia la potenza emessa è massima lungo l'asse $z$ (situazione opposta a quella di prima, dove la potenza emessa è massima in direzione ortogonale a $z$). Dunque:

$\frac{d{\sigma }_{\text{np}}}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{I_0}\frac{d{W}_{\text{np}}}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{e^4}{32{\pi }^2{m}^2}(1+{\cos }^2\theta )=r_0^2\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}$

ove (reintroducendo $c$):

$r_0=\frac{e^2}{4\pi m{c}^2}$

è detto il raggio classico della particella (per l'elettrone, ad esempio, $r_0=2.8\times 10^{-13}$ cm), e ci permette di capire il significato fisico della sezione d'urto differenziale. Infatti, $d\sigma /d\mathrm{\Omega }\propto r_0^2$, e dunque ai fini dell'interazione elettromagnetica è come se la particella "occupasse" una superficie di area $r_0^2$. Per comprendere meglio quest'ultimo concetto, calcoliamo la sezione d'urto totale:

${\sigma }_{\text{np}}=\int \frac{d{\sigma }_{\text{np}}}{d\mathrm{\Omega }}d\mathrm{\Omega }=2\pi {\int }_{-1}^1\frac{d{\sigma }_{\text{np}}}{d\mathrm{\Omega }}d\cos \theta =$

$=2\pi {\int }_{-1}^1{r}_0^2\frac{1+{\cos }^2\theta }{2}d\cos \theta =2\pi r_0^2\frac{4}{3}=\frac{8\pi }{3}{r}_0^2$

e dunque anche la sezione d'urto totale è proporzionale al quadrato del raggio classico della particella.

Ora, in generale la sezione d'urto totale è:

${\sigma }_{TOT}=\frac{W_{TOT}}{I_0}\Rightarrow W_{TOT}={\sigma }_{TOT}{I}_0$

Questa formula ha un'interpretazione intuitiva abbastanza evidente: $I_0{\sigma }_{TOT}$ è l'energia per unità di tempo che fluisce attraverso l'area ${\sigma }_{TOT}$. Da $W_{TOT}={\sigma }_{TOT}{I}_0$ si deduce che tutta questa potenza viene diffusa; pertanto, la diffusione Thomson può essere interpretata in questo modo: tutta la radiazione presente nel cilindro di base ${\sigma }_{TOT}$ interagisce con la particella e viene diffusa, mentre il resto passa inalterato; insomma, ${\sigma }_{TOT}$ è la dimensione effettiva del "bersaglio".

Vediamo un po' di applicazioni di questo fenomeno.

Nel Sole, una volta che un fotone viene creato in una reazione nucleare, viene continuamente scatterato all'interno del Sole stesso, prima di poter uscire nello spazio aperto. Poiché la materia all'interno del Sole si trova allo stato di plasma (ossia gli atomi sono scissi in nuclei ed elettroni liberi), vogliamo dunque calcolare il cammino libero medio $\ell$ di un fotone in un plasma.

Possiamo dunque pensare che il fotone si "porti dietro" un "dischetto" di area ${\sigma }_T$: se un elettrone vi passa attraverso il fotone viene diffuso, altrimenti no. Equivalentemente, se in media in un cilindro di base ${\sigma }_T$ e altezza $\ell$ c'è un elettrone, allora il fotone viene scatterato. Detto $n_{\ell }$ il numero di elettroni per unità di volume, la condizione che definisce il cammino libero medio è:

$n_{\ell }{\sigma }_T\ell \simeq 1\Rightarrow \ell \simeq \frac{1}{n_{\ell }{\sigma }_T}$

Nel Sole, $n_{\ell }=10^{30}$ m${}^{-3}$ (è una densità simile a quella dell'acqua), e utilizzando la ${\sigma }_T$ dell'elettrone risulta $\ell \simeq 1$ cm. Tenendo conto del fatto che il raggio solare è $R_{\odot }\simeq 10^9$ m, si può stimare che un fotone impiega qualche migliaio di anni prima di uscire dal Sole.

Altra applicazione risiede nello studio dell'universo primordiale.

Inizialmente l'universo era abbastanza caldo da impedire la formazione di atomi (tutta la materia era plasma), e dunque era anche "opaco" rispetto alla radiazione, perché i fotoni potevano essere diffusi con molta facilità. A un certo punto la temperatura si è abbassata a sufficienza per permettere la creazione di atomi: pertanto l'universo è diventato "trasparente" alla radiazione e i fotoni hanno smesso di essere scatterati. Ciò ha dato origine alla CMB (cosmic microwave background, radiazione cosmica di fondo): da quell'istante la radiazione ha cominciato a viaggiare liberamente, e tutt'oggi la possiamo vedere (si tratta di una sorta di "fotografia istantanea" dell'universo in quel momento).

Se l'elettrone invece di essere libero è legato a un atomo si ha lo scattering Rayleigh; il conto in questo caso è identico a quello che abbiamo fatto, con la differenza che ora va inclusa una forza di tipo elastico che lega l'elettrone al nucleo. Risulta che:

${\sigma }_R\propto \frac{{\omega }^4}{({\omega }^2-{\omega }_0^2{)}^2}$

ove $\omega$ è la frequenza della radiazione incidente (che è uguale a quella emessa), e ${\omega }_0$ è la frequenza di oscillazione caratteristica del sistema nucleo-elettrone. In questo caso, dunque, la sezione d'urto dipende dalla frequenza:

• $\omega \gg {\omega }_0$: ci si riconduce alla situazione dello scattering Thomson;
• $\omega \ll {\omega }_0$: si ha ${\sigma }_R\propto {\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^4\ll 1$ ossia, particelle non libere diffondono molto meno efficacemente di quelle libere, a piccole frequenze;
• $\omega \sim {\omega }_0$: in questo caso, detto risonante, la radiazione emessa è piccata su ${\omega }_0$ (in realtà il valore della sezione d'urto non diverge, come potrebbe sembrare dalla sua espressione).

Torniamo allo scattering Thomson. Abbiamo trascurato una cosa: non abbiamo considerato l'effetto della radiazione emessa dalla particella sulla particella stessa. È la reazione di radiazione, che vedremo alla fine del corso. Possiamo però renderci conto che questo effetto c'è tramite la verifica di alcune leggi di conservazione:

Energia $W=I_0\sigma$, pertanto l'energia della radiazione incidente è uguale a quella della radiazione emessa. L'energia è pertanto conservata.

Quantità di moto Si ha un certo flusso di quantità di moto incidente, dovuto alla radiazione, che è uguale al flusso di energia:

$\frac{d{P}_z^{(\text{in})}}{dt}=I_0\sigma$

Tuttavia:

$\frac{d{P}_z^{(\text{out})}}{dt}=0$

perché siamo in approssimazione di dipolo (in questo caso, come abbiamo già mostrato, non c'è emissione di quantità di moto). D'altra parte, però, la particella mantiene in media la sua quantità di moto, dunque non ne assorbe: c'è quindi della quantità di moto incidente ma non ce n'è di emessa.

Ciò è proprio dovuto al fatto che ci siamo "dimenticati" dell'effetto dei campi diffusi sulla particella stessa: pertanto, su di essa dovrà agire una forza $F_z$ tale che:

$F_z=\frac{d{P}_z^{(\text{in})}}{dt}=I_0\sigma =\frac{4\pi }{3}{r}_0^2|{\overrightarrow{E}}_0{|}^2$

e questa forza va proprio interpretata come quella esercitata sulla particella dai campi emessi dalla particella stessa (d'altronde non c'è nessun altro agente fisico al quale la si potrebbe associare). Questa "dimenticanza", però, non inficia sulla validità dei conti che abbiamo fatto perché $F_z\propto |{\overrightarrow{E}}_0{|}^2$, e abbiamo supposto che i campi siano poco intensi (altrimenti non sarebbe soddisfatta la condizione $v\ll 1$), e dunque $F_z$ è trascurabile.

Precisiamo infine un'ultima cosa: nella discussione che abbiamo fatto sullo scattering Thomson abbiamo supposto che il campo elettromagnetico sia "classico", ossia non quantistico: quest'approssimazione è valida se la frequenza $\omega$ della radiazione incidente è molto piccola, di modo che l'energia $\hslash \omega$ dei fotoni sia piccola rispetto alla massa della particella. Se dunque $\hslash \omega \ll m{c}^2$ vale lo scattering Thomson come l'abbiamo visto; se invece $\hslash \omega \sim m{c}^2$, la diffusione di radiazione da parte di una particella carica è descritta dallo scattering Compton (nel quale la diffusione è descritta come un urto fra due particelle), nel quale la frequenza della radiazione diffusa differisce da quella incidente.