Elettrodinamica classica/Effetto Doppler relativistico

Studiamo ora come vari la frequenza di un'onda elettromagnetica nel passaggio da un sistema di riferimento a un altro. Nello studio dell'effetto Doppler non relativistico in genere si considerano tre sistemi di riferimento: quello della sorgente, quello del mezzo e quello dell'osservatore; le velocità rilevanti, poi, sono due: quella delle onde rispetto al mezzo e quella dell'osservatore rispetto al mezzo. Nel caso relativistico esistono invece due soli sistemi di riferimento: quello della sorgente e quello dell'osservatore; l'unica velocità rilevante, poi, è quella relativa fra sorgente e osservatore.

Consideriamo dunque una sorgente nel suo sistema di riferimento di riposo $K^{\prime }$ che emette un'onda elettromagnetica elementare con vettore d'onda ${\overrightarrow{k}}_0$. In un altro sistema di riferimento $K$, rispetto al quale $K^{\prime }$ si muove con velocità costante $\overrightarrow{v}$, un osservatore misura l'onda emessa dalla sorgente, o meglio misura il suo vettore d'onda ${\overrightarrow{k}}^{\prime }$. Supponiamo ovviamente che i due sistemi di riferimento siano orientati nello stesso modo, e non è restrittivo supporre $\overrightarrow{v}\parallel \hat{x}$.

In $K$ si avrà dunque un campo elettromagnetico descritto da:

$A_{\mu }(x)={\epsilon }_{\mu }(\overrightarrow{k})e^{ikx}+\text{c.c.}$

con $k^{\mu }=(\omega ,\overrightarrow{k})$ e $\omega =|\overrightarrow{k}|$. In $K^{\prime }$, invece:

$A{\text{'}}_{\mu }(x^{\prime })=\epsilon {\text{'}}_{\mu }({\overrightarrow{k}}^{\prime })e^{i{k}^{\prime }{x}^{\prime }}+\text{c.c.}$

con $k{\text{'}}^{\mu }=({\omega }_0,{\overrightarrow{k}}_0)$, e ${\omega }_0=|{\overrightarrow{k}}_0|$ è detta frequenza di riposo. Ora:

$k{\text{'}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{k}^{\nu }{\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Consideriamo dunque la componente $\mu =0$ di questa trasformazione, perché ci interessa sapere come trasformi la frequenza dell'onda:

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(\omega -v{k}^1)$

Detto ora $\alpha$ l'angolo relativo fra $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{k}$ misurato in $K$ (ossia l'angolo relativo fra l'osservatore e la velocità della sorgente), allora $k^1=|\overrightarrow{k}|\cos \alpha =\omega \cos \alpha$. Pertanto:

${\omega }_0=\frac{\omega }{\sqrt{1-v^2}}(1-v\cos \alpha )\Rightarrow \omega =\frac{\sqrt{1-v^2}}{1-v\cos \alpha }{\omega }_0$

Esistono dunque alcuni casi particolari interessanti.

$\alpha =0$: in questo caso la sorgente si sta avvicinando all'osservatore, e vale:

$\omega =\frac{\sqrt{1-v^2}}{1-v}{\omega }_0\stackrel{v\ll 1}{\approx }(1+v){\omega }_0$

$\alpha =\pi$: in questo caso la sorgente si sta allontanando dall'osservatore, e vale:

$\omega =\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v}{\omega }_0\stackrel{v\ll 1}{\approx }(1-v){\omega }_0$

$\alpha =\pi /2$: in questo caso la sorgente si muove perpendicolarmente all'osservatore, e si parla di effetto Doppler trasverso. Vale:

$\omega =\sqrt{1-v^2}{\omega }_0\stackrel{v\ll 1}{\approx }(1-\frac{v^2}{2}){\omega }_0$

Nel caso non relativistico, questo tipo di fenomeno non è osservabile proprio perché è dell'ordine di $v^2$.

Notiamo dunque che se la sorgente si avvicina all'osservatore, la frequenza osservata dell'onda è maggiore di quella di riposo, e viceversa se la sorgente si allontana. Si ha dunque il redshift cosmologico: se una sorgente di onde elettromagnetiche (come ad esempio una stella) si allontana da noi, osserviamo delle frequenze minori di quelle effettivamente emesse dalla stella. In particolare, nel visibile, lo spettro della stella si "sposterà" verso il rosso: per la legge di Hubble, dunque, misurare il redshift di un oggetto equivale a misurarne la distanza da noi. Il redshift è definito come:

$z=\frac{\lambda -{\lambda }_0}{{\lambda }_0}=\frac{1+v}{\sqrt{1-v^2}}-1=\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}-1>0$

Un'altra applicazione interessante di quanto visto sono le guide d'onda. Consideriamo delle onde elettromagnetiche che si propagano nel vuoto, ma con delle condizioni al contorno: ad esempio, possiamo "vincolare" le onde a propagarsi all'interno di una guida metallica.

All'interno di questa guida le onde dovranno soddisfare le equazioni di Maxwell nel vuoto, ma sulla guida dovranno soddisfare delle date condizioni: ad esempio, essendo la guida metallica, non potranno esserci componenti del campo elettrico ortogonali ad essa. Consideriamo dunque delle onde monocromatiche che si propagano lungo la direzione dell'asse $z$:

$\overrightarrow{E}=e^{-i\omega t}{e}^{ikz}{\overrightarrow{E}}_0(x,y)+\text{c.c.}\overrightarrow{B}=e^{-i\omega t}{e}^{ikz}{\overrightarrow{B}}_0(x,y)+\text{c.c.}$

Nel caso delle onde elementari, ${\overrightarrow{E}}_0$ e ${\overrightarrow{B}}_0$ erano vettori costanti, ma in questo caso per le condizioni al contorno dovranno essere funzioni di $x$ e $y$. Non trattiamo approfonditamente il problema, ci limitiamo a dire che risulta che la relazione fra $k$ e $\omega$ non è più quella semplice delle onde elementari ($k=\omega$), ma sarà del tipo $\omega =\omega (k)$ con $\omega$ funzione generica. Possiamo dunque definire la velocità di fase dell'onda come $v_f=\omega /k$, che in alcuni casi può anche risultare maggiore di 1; non si tratta però di un paradosso, perché in realtà la velocità di fase non ha un vero e proprio significato fisico, in quanto le grandezze trasportate da un'onda si muovono con la velocità di gruppo, definita come $v_g=d\omega /dk$, che risulta sempre minore di 1.