Elettrodinamica classica/I gruppi di Poincaré e di Lorentz

Le trasformazioni di Poincaré sono caratterizzate dalla coppia $(\mathrm{\Lambda },a)$ con ${\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }=\eta$; queste costituiscono un gruppo, con la legge di composizione:

$({\mathrm{\Lambda }}_2,a_2)\cdot ({\mathrm{\Lambda }}_1,a_1)=({\mathrm{\Lambda }}_2{\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2{a}_1+a_2)$

L'insieme $(\mathrm{\Lambda },0)$ è il sottogruppo di Lorentz, ed è non-abeliano (cioè non commutativo); è anche detto "gruppo di Lie", cioè è un gruppo che può essere parametrizzato in modo continuo (le $\mathrm{\Lambda }$ formano uno spazio continuo di matrici). Possiamo dunque chiederci se questo gruppo formi una varietà connessa (ossia tale che si possa passare con continuità da un elemento all’altro) oppure no. Così come lo abbiamo definito, il gruppo di Lorentz non è connesso; vediamo dunque meglio qual è la sua struttura.

Abbiamo già visto che per il gruppo di Lorentz vale ${det}^2\mathrm{\Lambda }=1$, e dunque ci sono elementi per i quali $det\mathrm{\Lambda }=1$ e altri per i quali $det\mathrm{\Lambda }=-1$: variando in modo continuo i parametri di una $\mathrm{\Lambda }$ con $det\mathrm{\Lambda }=1$, esso non potrà che variare in maniera continua, e pertanto con una trasformazione del genere sarà impossibile avere $det\mathrm{\Lambda }=-1$. Questi due sottoinsiemi del gruppo di Lorentz sono pertanto sconnessi fra loro. Consideriamo ora la componente $(0,0)$ dell’identità ${\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }=\eta$. Si ha:

$({\mathrm{\Lambda }}_0^0{)}^2-({\mathrm{\Lambda }}_0^i{)}^2=1\Rightarrow ({\mathrm{\Lambda }}_0^0{)}^2\ge 1$

Dunque si presentano due nuove possibilità: o ${\mathrm{\Lambda }}_0^0\ge 1$ oppure ${\mathrm{\Lambda }}_0^0\le 1$, e anche stavolta con una trasformazione continua non sarà mai possibile passare da una $\mathrm{\Lambda }$ con ${\mathrm{\Lambda }}_0^0\ge 1$ a una con ${\mathrm{\Lambda }}_0^0\le 1$.

Il gruppo di Lorentz è quindi sconnesso, e composto da quattro componenti. Di queste solo una può essere un sottogruppo, ed è quella che contiene l’identità; questa è la componente con $det\mathrm{\Lambda }=1$ e ${\mathrm{\Lambda }}_0^0\ge 1$, che di solito si indica con $SO(1,3{)}_c$ e ha il nome di (sotto)gruppo proprio di Lorentz. Si verifica che $SO(1;3{)}_c$ è effettivamente un sottogruppo, e che è connesso. È questo il vero gruppo di simmetria della natura: l’elettromagnetismo sarebbe infatti invariante per tutte le trasformazioni del gruppo di Lorentz, ma altre interazioni fondamentali non lo sono, e l’unico insieme di trasformazioni per le quali tutte le interazioni ad oggi note sono invarianti è proprio $SO(1;3)c$.

Per "saltare" alle altre componenti del gruppo di Lorentz partendo da $SO(1,3{)}_c$ servono due trasformazioni discrete:

• la parità $P:(x^0,x^i)⟼(x^0,-x^i)$
• l'inversione temporale $T:(x^0,x^i)⟼(-x^0,x^i)$