Elettrodinamica classica/I postulati della relatività ristretta e il formalismo covariante

Come abbiamo appena visto, le equazioni di Maxwell non sono compatibili col principio di relatività galileiana; per risolvere il problema bisogna "estendere" le trasformazioni di Galileo, o meglio l'intera meccanica formulando la relatività ristretta.

Quest'ultima si fonda su tre postulati:

1. lo spazio è omogeneo e isotropo, il tempo omogeneo;
2. le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
3. la velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Il primo postulato è condiviso con la meccanica classica. Il secondo solo in parte: stavolta sono tutte le leggi della fisica, elettromagnetismo compreso, a dover essere le stesse fra osservatori inerziali. L'ultimo postulato, invece, è esclusivo della relatività.

Definiamo dunque spaziotempo l'insieme di tutti gli eventi fisici; si tratta di uno spazio quadridimensionale, in quanto in un dato sistema di riferimento ad un evento sono associati quattro numeri: uno per la sua localizzazione temporale e gli altri tre per quella spaziale. Indichiamo questi quattro numeri con $x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)$ (con la convenzione che gli indici greci rappresentino numeri variabili fra 0 e 3) ove $x^0=ct$, o $x^0=t$ se si usano unità naturali (nelle quali $c=1$); si può anche scrivere $x^{\mu }=(t,x^i)$ (con la convenzione che gli indici latini rappresentino numeri variabili fra 1 e 3) o $x^{\mu }=(t,\overrightarrow{x})$.

Definiamo poi intervallo fra due eventi infinitamente vicini $x^{\mu }$ e $x^{\mu }+d{x}^{\mu }$ come:

$d{s}^2:=d{t}^2-\sum _i(d{x}^i{)}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$

ove ${\eta }_{\mu \nu }$ è l'elemento $(\mu ,\nu )$-esimo (cioè quello sulla $\mu$-esima riga e sulla $\nu$-esima colonna) della matrice $4\times 4$ $\eta$, detta metrica di Minkowski (“metrica” perché è una generalizzazione a quattro dimensioni del concetto di “distanza” fra due punti):

$\eta =\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

Da notare che il fatto che siano gli ultimi tre indici (quelli spaziali) ad avere il segno negativo è una pura convenzione: in letteratura si può anche trovare $\eta =\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(-1,1,1,1)$.

Per ${\eta }^{\mu \nu }$ si intende l'elemento $(\mu ,\nu )$-esimo della matrice inversa di $\eta$, e dunque:

${\eta }^{\mu \nu }{\eta }_{\nu \rho }={\delta }_{\rho }^{\mu }$

ove $\delta$ è la delta di Kronecker. Numericamente, però, l'inversa di $\eta$ coincide con $\eta$ stessa.

Dato un evento, ogni sistema di riferimento inerziale associa ad esso una diversa quadrupletta $x^{\mu }$. Vogliamo dunque capire quali siano le trasformazioni fra sistemi di riferimento inerziali. Non ripercorriamo tutto il ragionamento, perché lo abbiamo già visto in altri corsi. Si determina che, se $K$ e $K^{\prime }$ sono due sistemi di riferimento inerziali, la legge di trasformazione delle coordinate di un evento da $K$ a $K^{\prime }$ è del tipo:

$x{\text{'}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }+a^{\mu }$

con ${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }$ elemento $(\mu ,\nu )$-esimo della matrice $4\times 4\mathrm{\Lambda }$ e $a^{\mu }$ elemento $\mu$-esimo di un quadrivettore costante qualunque (che fisicamente rappresenta una traslazione spaziotemporale). Si tratta dunque di una trasformazione lineare. Inoltre, poiché $d{s}^2$ dev'essere invariante per il terzo postulato della relatività, la matrice $\mathrm{\Lambda }$ dovrà essere tale che:

$\begin{array}{c}dx{\text{'}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }d{x}^{\nu }d{s}^2=ds{\text{'}}^2\Rightarrow \\ \Rightarrow {\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{d{x}^{\prime }}^{\mu }{d{x}^{\prime }}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\mu }d{x}^{\rho }{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }^{\nu }d{x}^{\sigma }\Rightarrow \\ \Rightarrow {\eta }_{\rho \sigma }d{x}^{\rho }d{x}^{\sigma }={\eta }_{\mu \nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\mu }d{x}^{\rho }{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }^{\nu }d{x}^{\sigma }\mathrm{\forall }d{x}^{\rho },d{x}^{\sigma }\Rightarrow \\ \Rightarrow {\eta }_{\mu \nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }^{\nu }={\eta }_{\rho \sigma }\end{array}$

È dunque quest'ultima la relazione che devono soddisfare le matrici $\mathrm{\Lambda }$, il cui insieme è detto gruppo di Lorentz.

Le relazioni con gli indici sono, ovviamente, relazioni componente per componente fra matrici. In notazione matriciale, la condizione di appartenenza al gruppo di Lorentz è:

$\eta ={\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }$

Spesso si indica il gruppo di Lorentz col simbolo $O(1,3)$, che indica il gruppo delle matrici ortogonali (in realtà le matrici del gruppo di Lorentz sono pseudoortogonali) con i segni sulla diagonale non tutti uguali (il primo 1 indica che il primo termine è positivo, e il 3 che gli altri sono negativi). Essendo ortogonali (in realtà pseudo-ortogonali), le matrici del gruppo di Lorentz sono invertibili, e si ha:

$𝕀={\eta }^{-1}\eta ={\eta }^{-1}{\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }⟹{\mathrm{\Lambda }}^{-1}={\eta }^{-1}{\mathrm{\Lambda }}^T\eta =\eta {\mathrm{\Lambda }}^T\eta$

In termini di indici, si ha:

$({\mathrm{\Lambda }}^{-1}{)}_{\nu }^{\mu }={\eta }^{\mu \rho }\underset{({\mathrm{\Lambda }}^T{)}_{\sigma }^{\rho }}{\underbrace{{\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\sigma }}}{\eta }_{\sigma \nu }={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\nu }^{\mu }=<{\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }$

L'insieme delle trasformazioni fra sistemi di riferimento inerziali è però più ampio del gruppo di Lorentz, perché può contenere le traslazioni spaziotemporali. Quest’insieme di trasformazioni più ampio (cioè il gruppo di Lorentz con comprese le traslazioni spaziotemporali) è detto gruppo di Poincaré.

Ora, per il secondo postulato della relatività ristretta, se riuscissimo a scrivere una legge fisica in termini di tensori, questa sarebbe covariante a vista, ossia invariante in forma fra sistemi di riferimento inerziali. Cosa significa?

Supponiamo che in un sistema di riferimento inerziale $K$ una legge si esprima come $A=B$. In un altro sistema di riferimento inerziale $K^{\prime }$ alla grandezza rappresentata da $A$ in $K$ sarà associata una quantità $A^{\prime }$, e parimenti alla grandezza rappresentata in $K$ da $B$ sarà associata la quantità $B^{\prime }$. Se $A=B$ è una legge covariante a vista, ciò significa che in $K^{\prime }$ si ha $A^{\prime }=B^{\prime }$. Entrambi i membri dell’equazione, dunque, possono variare singolarmente, ma l’uguaglianza (o, più in generale, la relazione fra le grandezze) resta inalterata.