Elettrodinamica classica/I tensori

Facciamo adesso una "digressione matematica" sui concetti di tensore e di campo tensoriale, che come abbiamo in parte visto (e come vedremo approfonditamente in seguito) sono fondamentali per poter formulare una descrizione relativistica dell'elettromagnetismo.

Cosa si intende per tensore? Un tensore è una quantità che rispetto al gruppo di Poincaré si trasforma linearmente in maniera ben definita. Vediamo di capirlo meglio per esempi.

Il più semplice tensore possibile è uno scalare: si tratta di una quantità rappresentata da un numero, chiamiamolo $\phi$, che non trasforma fra sistemi di riferimento inerziali: $\phi ={\phi }^{\prime }$. Esempi di scalari sono la massa o la carica di un corpo.

Il primo tipo di tensore non banale è il quadrivettore (controvariante), ossia una quantità che in un sistema di riferimento inerziale è rappresentata da quattro numeri, e si trasformano rispetto al gruppo di Poincaré tramite la seguente legge:

$a{\text{'}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }{a}^{\nu }$

Se per esempio in $K$ si ha $V^{\mu }=W^{\mu }$, allora in $K^{\prime }$ si avrà $V{\text{'}}^{\mu }=W{\text{'}}^{\mu }$; un esempio di quadrivettore è $d{x}^{\mu }$. Se si hanno due quadrivettori, $V^{\mu }$ e $W^{\mu }$, è facile vedere che la quantità ${\eta }_{\mu \nu }{V}^{\mu }{W}^{\nu }$ è uno scalare. Infatti:

$\begin{array}{c}{\eta }_{\mu \nu }{V^{\prime }}^{\mu }{W^{\prime }}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\mu }{V}^{\rho }{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }^{\nu }{W}^{\sigma }={\eta }_{\mu \nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }^{\nu }{V}^{\rho }{W}^{\sigma }=\\ ={\eta }_{\sigma \rho }{V}^{\rho }{W}^{\sigma }={\eta }_{\mu \nu }{V}^{\mu }{W}^{\nu }\Rightarrow \\ \Rightarrow {\eta }_{\mu \nu }{V^{\prime }}^{\mu }{W^{\prime }}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{V}^{\mu }{W}^{\nu }\end{array}$

Dati due quadrivettori, dunque, la loro contrazione è uno scalare.

Definendo $V_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{V}^{\nu }$, allora la contrazione fra $V^{\mu }$ e $W^{\mu }$ si può scrivere $V_{\mu }{W}^{\mu }$; ovviamente $V_{\mu }{W}^{\mu }=V^{\mu }{W}_{\mu }$.

I quadrivettori del tipo $V_{\mu }$ sono detti quadrivettori covarianti; per capire come si trasformano sfruttiamo la legge di trasformazione dei quadrivettori controvarianti:

$\begin{array}{c}{V}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{V}^{\nu }\Rightarrow \\ \Rightarrow V{\text{'}}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }V{\text{'}}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\nu }{V}^{\rho }={\eta }_{\mu \nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\nu }{\eta }^{\rho \sigma }{V}_{\sigma }={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu }^{\sigma }{V}_{\sigma }={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu }^{\nu }{V}_{\nu }\Rightarrow \\ \Rightarrow V{\text{'}}_{\mu }={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mu }^{\nu }{V}_{\nu }\end{array}$

Generalizzando: un tensore di rango $(m,n)$ è un oggetto con $m$ indici "alti" e $n$ "bassi", che indichiamo con $T_{{\nu }_1\dots {\nu }_n}^{{\mu }_1\dots {\mu }_m}$, che si trasforma per il gruppo di Poincaré secondo la legge:

${T^{\prime }}_{{\nu }_1\dots {\nu }_n}^{{\mu }_1\dots {\mu }_m}={\mathrm{\Lambda }}_{{\rho }_1}^{{\mu }_1}\cdots {\mathrm{\Lambda }}_{{\rho }_m}^{{\mu }_m}{\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{{\sigma }_1}^{{\nu }_1}\cdots {\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{{\sigma }_n}^{{\nu }_n}{T}_{{\sigma }_1\dots {\sigma }_n}^{{\rho }_1\dots {\rho }_m}$

Adesso, che operazioni si possono compiere fra i tensori?

Prodotto tensoriale.

Dati un tensore di rango $(m,n)$ e uno di rango $(k,\ell )$, il loro prodotto tensoriale è un tensore di rango $(m+k,n+\ell )$ che ha come componenti i prodotti algebrici delle componenti dei due tensori di partenza:

$V_{{\nu }_1\dots {\nu }_n}^{{\mu }_1\dots {\mu }_m},W_{{\nu }_1\dots {\nu }_{\ell }}^{{\mu }_1\dots {\mu }_k}\Rightarrow T_{{\nu }_1\dots {\nu }_{n+\ell }}^{{\mu }_1\dots {\mu }_{m+k}}=V_{{\nu }_1\dots {\nu }_n}^{{\mu }_1\dots {\mu }_m}{W}_{{\nu }_1\dots {\nu }_{\ell }}^{{\mu }_1\dots {\mu }_k}$

Contrazione degli indici.

Dato un tensore di rango $(m,n)$, contraendo $k$ dei suoi indici controvarianti con $k$ di quelli covarianti si ottiene un tensore di rango $(m-k,n-k)$. Ad esempio partendo dal tensore $T_{\rho \sigma }^{\lambda \mu \nu }$, di rango $(3,2)$, e contraendo gli indici $\mu$ e $\rho$ si ottiene il tensore

$W_{\sigma }^{\lambda \nu }=T_{\mu \sigma }^{\lambda \mu \nu }$

che è di rango $(2,1)$.

Caratteristica importante dei tensori sono le loro proprietà di simmetria o antisimmetria. Un tensore $S^{\mu \nu }$ si dice simmetrico se $S^{\mu \nu }=S^{\nu \mu }$, mentre un tensore $A^{\mu \nu }$ si dice antisimmetrico se $A^{\mu \nu }=-A^{\nu \mu }$. Da notare che nel caso di un tensore misto, come può essere $T_{\nu }^{\mu }$, non ha alcun senso chiedersi se sia simmetrico o antisimmetrico; la condizione $T_{\nu }^{\mu }=T_{\mu }^{\nu }$ non è infatti invariante sotto trasformazioni di Lorentz.

$T_{\nu }^{\mu }=T_{\mu }^{\nu }\Rightarrow {T^{\prime }}_{\nu }^{\mu }\ne {T^{\prime }}_{\mu }^{\nu }$

Se un tensore è simmetrico o antisimmetrico, tale è in qualunque sistema di riferimento inerziale.

Le proprietà di simmetria si estendono facilmente a tensori di rango maggiore: un tensore si dice completamente simmetrico o completamente antisimmetrico se valgono le relative proprietà di simmetria o antisimmetria per lo scambio di una qualsiasi coppia di indici.

Dato un tensore $T_{\mu \nu }$, si definisce la sua parte simmetrica come

$T_{(\mu \nu )}:=\frac{1}{2}(T_{\mu \nu }+T_{\nu \mu })$

e la sua parte antisimmetrica come

$T_{[\mu \nu ]}:=\frac{1}{2}(T_{\mu \nu }-T_{\nu \mu })$

Ovviamente, $T_{(\mu \nu )}$ e $T_{[\mu \nu ]}$ sono rispettivamente simmetrici e antisimmetrici, anche se il tensore di partenza $T_{\mu \nu }$ non lo era.

Altro fatto importante è che la contrazione di un tensore simmetrico con uno antisimmetrico vale zero. Supponiamo infatti che $S_{\mu \nu }$ sia simmetrico e $A_{\mu \nu }$ antisimmetrico. Allora:

$S_{\mu \nu }{A}^{\mu \nu }=-S_{\mu \nu }{A}^{\nu \mu }=-S_{\nu \mu }{A}^{\nu \mu }$

cambiamo ora il nome degli indici (operazione lecita in quanto sommati, e dunque muti): $\mu \to \nu$, $\nu \to \mu$. Allora:

$S_{\mu \nu }{A}^{\mu \nu }=-S_{\mu \nu }{A}^{\mu \nu }\Rightarrow S_{\mu \nu }{A}^{\mu \nu }=0$

Per tensore invariante si intende un tensore che ha le stesse componenti in ogni sistema di riferimento. In altre parole, $T^{\mu \nu \dots }$ si dice invariante se ${T^{\prime }}^{\mu \nu \dots }=T^{\mu \nu \dots }$. Vediamo alcuni esempi:

• ${\eta }^{\mu \nu }$ è un tensore invariante, infatti: $\eta {\text{'}}^{\mu \nu }={\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }^{\nu }{\eta }^{\rho \sigma }={\eta }^{\mu \nu }$.
• ${\delta }_{\nu }^{\mu }$ non è un tensore invariante, infatti ${{\delta }^{\prime }}_{\nu }^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}_{\rho }^{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_{\sigma }^{\nu }{\delta }^{\rho \sigma }\ne {\delta }_{\nu }^{\mu }$.
• Il tensore di Levi-Civita ${\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }$, che è un tensore completamente antisimmetrico con ${\epsilon }^{0123}=+1$. Verifichiamo che è invariante:

$\epsilon {\text{'}}^{\mu \nu \rho \sigma }={\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }^{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_{\beta }^{\nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\gamma }^{\rho }{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }^{\sigma }{\epsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }$

Quest’ultimo oggetto è completamente antisimmetrico rispetto allo scambio di una qualsiasi coppia di indici; infatti, scambiando $\mu$ con $\nu$:

$\epsilon {\text{'}}^{\mu \nu \rho \sigma }={\mathrm{\Lambda }}_{\beta }^{\nu }{\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }^{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_{\gamma }^{\rho }{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }^{\sigma }\underset{-{\epsilon }^{\beta \alpha \gamma \delta }}{\underbrace{{\epsilon }^{\beta \alpha \gamma \delta }}}=-{{\epsilon }^{\prime }}^{\mu \nu \rho \sigma }$

Ma di un tensore completamente antisimmetrico a quattro dimensioni, a meno di multipli, ce n’è solo uno (fissata una “casella” del tensore, tutte le altre sono automaticamente determinate). Dunque:

${{\epsilon }^{\prime }}^{\mu \nu \rho \sigma }=x{\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }$

È un fatto (in sostanza ne è la definizione) che $x=\text{det}\mathrm{\Lambda }$. Lo si può “vedere” facilmente in due dimensioni:

$\mathrm{\Lambda }=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Lambda }}_1^1& {\mathrm{\Lambda }}_2^1\\ {\mathrm{\Lambda }}_1^2& {\mathrm{\Lambda }}_2^2\end{array}\right){\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }^{\mu }{\mathrm{\Lambda }}_{\beta }^{\nu }{\epsilon }^{\alpha \beta }=x{\epsilon }^{\mu \nu }$

e se poniamo ad esempio $\mu =1$ e $\nu =2$ allora, tenendo conto che ${\epsilon }^{12}=1$ e che $\epsilon \mu \mu =0$, si ha

${\mathrm{\Lambda }}^1{}_{\alpha }{\mathrm{\Lambda }}^2{}_{\beta }{\epsilon }^{\alpha \beta }=x⟹x={\mathrm{\Lambda }}^1{}_1{\mathrm{\Lambda }}^2{}_2{\epsilon }^{12}+{\mathrm{\Lambda }}^1{}_2{\mathrm{\Lambda }}^2{}_1{\epsilon }^{21}={\mathrm{\Lambda }}^1{}_1{\mathrm{\Lambda }}^2{}_2-{\mathrm{\Lambda }}^1{}_2{\mathrm{\Lambda }}^2{}_1=det\mathrm{\Lambda }$

Dunque:

$\epsilon {\text{'}}^{\mu \nu \rho \sigma }=det\mathrm{\Lambda }{\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }$

Ma come conseguenza del fatto che $\mathrm{\Lambda }$ deve soddisfare la condizione del gruppo di Poincaré si ha che $det\mathrm{\Lambda }=\pm 1$, e quindi:

${{\epsilon }^{\prime }}^{\mu \nu \rho \sigma }=\pm {\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }$

In realtà, quindi, $\epsilon$ è invariante rispetto a tutte le trasformazioni di Lorentz con $det\mathrm{\Lambda }=1$, mentre cambia di segno per quelle con $det\mathrm{\Lambda }=-1$; è per questo che la dicitura corretta per $\epsilon$ è quella di pseudotensore invariante.

Ora, esistono altri tensori invarianti diversi da quelli visti? Ossia, esistono tensori invarianti che non siano combinazioni lineari di ${\eta }^{\mu \nu }$ e ${\epsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }$? La risposta, contenuta in un teorema che noi non dimostriamo, è negativa: se $T^{\mu \nu \rho \sigma }$ è un generico tensore invariante, questo non può che essere una combinazione lineare di $\epsilon$ o di prodotti di $\eta$, ossia:

$T^{\mu \nu \rho \sigma }=a{\epsilon }^{\mu \nu \rho \sigma }+b{\eta }^{\mu \nu }{\eta }^{\rho \sigma }+c{\eta }^{\mu \rho }{\eta }^{\nu \sigma }+d{\eta }^{\mu \sigma }{\eta }^{\nu \rho }$