Elettrodinamica classica/Irraggiamento ultrarelativistico

Vogliamo ora studiare l'emissione di quadrimomento nel caso ultrarelativistico, e cerchiamo di farlo col minor sforzo possibile (ossia senza fare troppi conti). Sappiamo che per una singola particella con $v\ll 1$ valgono le formule di Larmor:

$\frac{dℰ}{dt}=\frac{e^2}{6\pi }|\overrightarrow{a}(t-r){|}^2\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}=0$

La prima di queste due espressioni, però, è la potenza rilevata all'istante $t$ a distanza $r$ dalla carica. Consideriamo invece:

$\frac{dℰ}{dt}=\frac{e^2}{6\pi }|\overrightarrow{a}(t){|}^2$

che è la potenza emessa al tempo $t$ che raggiunge l'infinito. Questa sottile distinzione è necessaria perché per studiare l'emissione di quadrimomento vorremmo usare ragionamenti basati sull'invarianza di Lorentz, e quindi è conveniente avere espressioni valutate tutte nello stesso istante. Vogliamo dunque determinare le formule analoghe a quelle di Larmor nel caso $v\sim 1$. Supponiamo quindi di porci nel sistema di riferimento di quiete istantanea della particella; in questo, la particella è ferma per definizione, e dunque in esso valgono le formule di Larmor:

$\frac{d{P}^{\mu }}{dt}=\frac{e^2}{6\pi }(|\overrightarrow{a}{|}^2,0,0,0)=\frac{e^2}{6\pi }|\overrightarrow{a}{|}^2{u}^{\mu }$

ove tutte le grandezze sono valutate in $t$, e $u_{\mu }=(1,0,0,0)$ è la quadrivelocità della particella in questo sistema di riferimento. Il nostro scopo, adesso, è quello di riscrivere quest'espressione in termini di grandezze covarianti (in particolare, dobbiamo "aggiustare" $|\overrightarrow{a}{|}^2$): in questo modo avremo anche determinato il quadrimomento emesso nel sistema di riferimento del laboratorio, in quanto l'uguaglianza continuerà a valere anche in esso (anche se le espressioni delle grandezze coinvolte cambieranno). Sappiamo che la quadriaccelerazione $w^{\mu }$ è un oggetto covariante, e che si riduce a $(0;\overrightarrow{a})$ nel sistema di riferimento di quiete istantanea della particella; pertanto $w^{\nu }{w}_{\nu }=-|\overrightarrow{a}{|}^2$ è uno scalare di Lorentz. Sostituendo inoltre $dt$ con $ds$ nell'espressione del quadrimomento (perché $dt$ non è covariante):

$\frac{d{P}^{\mu }}{ds}=-\frac{e^2}{6\pi }{w}^{\nu }{w}_{\nu }{u}^{\mu }$

È questa la formula che cercavamo, detta formula di Larmor relativistica. Come abbiamo già accennato, essendo un'uguaglianza fra quadrivettori, è vera in ogni sistema di riferimento inerziale; esprimendo tutto in termini di $t$ anziché di $s$:

$\frac{d{P}^{\mu }}{dt}=-\frac{e^2}{6\pi }{w}^{\nu }{w}_{\nu }(1;\overrightarrow{v})$

In particolare, dunque, l'energia emessa è:

$\frac{dℰ}{dt}=-\frac{e^2}{6\pi }{w}^{\nu }{w}_{\nu }$

e notiamo anche che in questo caso $d\overrightarrow{P}/dt\ne 0$, al contrario di quanto accade nel caso non relativistico. Vediamo adesso delle applicazioni di questa legge.