Elettrodinamica classica/L'atomo di idrogeno

Vediamo ora un'importante applicazione dello scattering Thomson. Consideriamo un atomo di idrogeno, composto dunque da un protone e un elettrone che gli orbita intorno. Sappiamo che, classicamente, particelle accelerate irradiano, e dunque ci aspetteremmo che gli elettroni, all'interno dell'atomo, siano instabili e emettano radiazione. Vogliamo studiare proprio questa emissione, detta Bremsstrahlung (non relativistica): si tratta della radiazione emessa quando due particelle interagiscono attraverso la forza coulombiana. Si possono distinguere dunque due casi: quello in cui le orbite delle particelle sono aperte (come in un urto contro un bersaglio) e quello in cui sono chiuse (come l'elettrone in un atomo). Come abbiamo detto, il caso fisicamente più interessante è il secondo, e dunque ci occupiamo di questo.

Consideriamo quindi l'atomo di idrogeno nello stato fondamentale; allora si può considerare il protone fermo nel sistema di riferimento del laboratorio (dal momento che è molto più pesante dell'elettrone) e l'elettrone in orbita attorno ad esso lungo traiettorie circolari.

Il raggio di quest'orbita è il raggio di Bohr:

$r_B=\frac{4\pi {\hslash }^2}{m{e}^2}\simeq 5.3\times 10^{-9}\text{ cm}$

Se a questo sistema fossero applicabili i princìpi della meccanica classica, essendo accelerato l'elettrone dovrebbe emettere. L'equazione del moto dell'elettrone è:

$m{\omega }^2{r}_B=\frac{\alpha }{r_B^2}\alpha =\frac{e^2}{4\pi }\Rightarrow {\omega }^2=\frac{\alpha }{m{r}_B^3}=\frac{r_0}{r_B^3}$

ove $r_0=e^2/4\pi m\simeq 28\cdot 10^{-13}$ cm è il raggio classico dell'elettrone. Dunque:

$v=\omega r_B=\sqrt{\frac{r_0}{r_B}}\ll 1$

(perché $r_0\ll r_B$), e pertanto la potenza emessa dall'elettrone è (usiamo la formula di Larmor):

$W=\frac{e^2}{6\pi }{a}^2=\frac{e^2}{6\pi }\frac{{\alpha }^2}{m^2{r}_B^4}$

Quindi, l'energia emessa in un periodo $T=2\pi /\omega$ di rotazione è:

$\mathrm{\Delta }ℰ={\int }_0^{T}Wdt=WT$

Detta ora $ℰ$ l'energia iniziale posseduta dall'elettrone, allora:

$ℰ=\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}_B^2-\frac{\alpha }{r_B}=-\frac{\alpha }{2r_B}$

e inoltre:

$\frac{\mathrm{\Delta }ℰ}{|ℰ|}=\frac{2\pi }{\omega }\frac{e^2}{6\pi }\frac{{\alpha }^2}{m^2{r}_B^4}\frac{2r_B}{\alpha }=\frac{8\pi }{3}{\left(\frac{r_0}{r_B}\right)}^{3/2}\simeq 3\cdot 10^{-6}$

L'elettrone, dunque, perde pochissima energia ad ogni giro, e il fatto che la variazione percentuale dell'energia per giro $\mathrm{\Delta }ℰ/|ℰ|$ sia piccolissima giustifica a posteriori la validità della nostra approssimazione. Ora, però, il periodo di rotazione dell'elettrone è $T\simeq 1.5\times 10^{-16}$ s; nella nostra approssimazione (che è la più "cruda" possibile), dunque, in circa $t\simeq 10^{-10}$ s l'elettrone perde tutta la sua energia, collassando sul protone. Se dunque la meccanica classica fosse applicabile a questo sistema fisico, gli atomi collasserebbero e la materia non potrebbe esistere. Inoltre, l'elettrone dovrebbe emettere con frequenza $\omega$, perché il moto dell'elettrone è armonico semplice; infatti $\overrightarrow{E}\propto \overrightarrow{\ddot{D}}$, e $\overrightarrow{D}$ ha la stessa frequenza del moto dell'elettrone. Pertanto, dovrebbe essere emessa la sola frequenza $\omega$, ma in realtà ciò è vero solo in approssimazione di dipolo. Volendo "raffinare" questo modello, si può tener conto del fatto che in realtà il raggio varia col tempo $(ℰ(t)=-e^2/(2r(t))$; in questo caso si avrebbe, dunque:

$\frac{1}{r}\frac{dr}{dt}=-\frac{1}{ℰ}\frac{dℰ}{dt}$

(ossia, la variazione percentuale del raggio è opposta a quella dell'energia), e poiché $dℰ/dt=-W$:

$\frac{1}{r}\frac{dr}{dt}=\frac{1}{ℰ}W=-\frac{2r}{\alpha }\frac{2}{3}\frac{{\alpha }^3}{m^2{r}^4}=-\frac{4}{3}\frac{r_0^2}{r^3}\Rightarrow r^3(t)=r_B^3-4r_0^{2}t$

Se stimiamo il tempo $\overline{t}$ al quale $r^3(\overline{t})=0$, risulta $\overline{t}\simeq 10^{-11}$ s, in accordo con quanto visto prima. In realtà anche in questo caso abbiamo tralasciato il fatto che via via che il raggio diminuisce, la velocità dell'elettrone aumenta, e ad un certo punto diventano importanti gli effetti relativistici. Volendo, quindi, si potrebbe apportare anche questa correzione, ma il risultato non cambia di molto.