Elettrodinamica classica/L'equazione del moto

Elettrodinamica classica

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L'equazione del moto Elettrodinamica classica/L'equazione del moto
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La quadricorrente Elettrodinamica classica/La quadricorrente
Le leggi di conservazione Elettrodinamica classica/Le leggi di conservazione

Il metodo variazionale

Soluzioni delle equazioni di Maxwell

Campo elettromagnetico di una carica in moto qualunque

Argomenti finali

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Alla luce di quanto visto, l'equazione del moto della particella diventa:

$f^{μ} = m w^{μ} = m \frac{d^{2} x^{μ}}{d s^{2}}$

ove $f^{μ}$ è la quadriforza. Vogliamo considerare il caso in cui quest'ultima è generata da campi elettromagnetici. In formalismo non covariante le equazioni dell'elettrodinamica sono scritte in termini di $\vec{E}$ e $\vec{B}$ ; per riscriverle in termini covarianti dobbiamo "creare" un tensore a partire da essi. In questo caso, però, non possiamo "estendere" $\vec{E}$ e $\vec{B}$ a quadrivettori, perché non abbiamo niente da usare come loro eventuale componente temporale. "Incorporiamo", dunque, questi due campi in un tensore antisimmetrico $F^{μ ν}$ ; è necessario che $F^{μ ν}$ sia antisimmetrico perché in questo modo non abbiamo problemi di gradi di libertà: $\vec{E}$ e $\vec{B}$ in totale hanno sei gradi di libertà^[1], tanti quanti quelli di un tensore antisimmetrico^[2]. Definiamo dunque questo tensore di modo che:

$F^{i 0} = E^{i} F^{i j} = - ε^{i j k} B_{k}$

In termini di questo tensore, le equazioni di Maxwell si scrivono:

$ε^{μ ν ρ σ} \partial_{ν} F_{ρ σ} = 0 \partial_{μ} F^{μ ν} = j^{ν}$

le prime sono dette identità di Bianchi^[3], e sono le equazioni di Maxwell prive di sorgenti (divergenza di $\vec{B}$ e rotore di $\vec{E}$ ), mentre le seconde sono propriamente dette equazioni di Maxwell (in seguito quando diremo "equazioni di Maxwell" ci riferiremo a queste), e sono quelle in presenza di sorgenti (divergenza di $\vec{E}$ e rotore di $\vec{B}$ ). Inoltre, nelle equazioni di Maxwell $j^{ν}$ è la quadricorrente:

$j^{ν} = (ρ, \vec{j})$

Dunque, tornando all'equazione del moto, si ha:

$f^{μ} = m \frac{d u^{μ}}{d s} = e F^{μ ν} (x (s)) u_{ν}$

detta equazione di Lorentz. Queste tre equazioni che abbiamo visto sono "accoppiate" fra loro: mentalmente possiamo pensare che le prime due (Bianchi e Maxwell) servano per ricavare i campi date le sorgenti, mentre l'ultima (Lorentz) permetta di ricavare il moto noti i campi. In realtà il mondo è un po' più complicato: le particelle generano sì i campi, ma questi influenzano il moto stesso delle cariche che li generano; cercare di risolvere esattamente il problema è estremamente complicato, e lo vedremo alla fine del corso. Ai fini pratici, possiamo tranquillamente trascurare l'azione di un campo sulla particella stessa che lo genera.

Note

↑ Tre per le componenti del campo elettrico e tre per quello magnetico.
↑ La condizione $F^{μ ν} = - F^{ν μ}$ fissa infatti i valori della "diagonale del tensore" (si dovrà avere $F^{μ μ} = 0$ ), e fuori da essa rimangono 12 componenti vincolate fra loro: fissati i valori di sei di queste, tutto il tensore è automaticamente determinato.
↑ Nota: l'identità di Bianchi si può scrivere come la permutazione ciclica $\partial_{μ} F_{ν ρ} + \partial_{ν} F_{ρ μ} + \partial_{ρ} F_{μ ν} = 0$ Infatti, poiché $ε^{μ ν ρ σ}$ è completamente antisimmetrico: $ε^{μ ν ρ σ} \partial_{ν} F_{ρ σ} = ε^{μ ν ρ σ} \partial_{[ν} F_{ρ σ]} = 0$ e poiché $ε$ non è un tensore identicamente nullo, si deve avere $\partial_{[ν} F_{ρ σ]} = 0$ . Svolgendo il calcolo esplicitamente (e rinominando gli indici) si ritrova la permutazione scritta sopra.

[1] Tre per le componenti del campo elettrico e tre per quello magnetico.

[2] La condizione $F^{μ ν} = - F^{ν μ}$ fissa infatti i valori della "diagonale del tensore" (si dovrà avere $F^{μ μ} = 0$ ), e fuori da essa rimangono 12 componenti vincolate fra loro: fissati i valori di sei di queste, tutto il tensore è automaticamente determinato.

[3] Nota: l'identità di Bianchi si può scrivere come la permutazione ciclica $\partial_{μ} F_{ν ρ} + \partial_{ν} F_{ρ μ} + \partial_{ρ} F_{μ ν} = 0$ Infatti, poiché $ε^{μ ν ρ σ}$ è completamente antisimmetrico: $ε^{μ ν ρ σ} \partial_{ν} F_{ρ σ} = ε^{μ ν ρ σ} \partial_{[ν} F_{ρ σ]} = 0$ e poiché $ε$ non è un tensore identicamente nullo, si deve avere $\partial_{[ν} F_{ρ σ]} = 0$ . Svolgendo il calcolo esplicitamente (e rinominando gli indici) si ritrova la permutazione scritta sopra.

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